《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

9 如图,有一个圆内接正八边形ABCDEFGH,如果$\triangle ADE$的面积为10,那么正八边形ABCDEFGH的面积为40。

答案： 40

10 如果正五边形ABCDE的边长为1,那么对角线AC的长度是$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。

答案： $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

11 已知正n边形的一个外角与一个内角之比为$1:3$,求n的值。

答案： 设外角的大小为x,则$x+3x=180^{\circ }$,解得$x=45^{\circ }$,所以$n=360^{\circ }÷ 45^{\circ }=8$。

12 如图,已知$\odot O$及圆上一点A。
(1) 求作$\odot O$的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH;
(2) 在(1)所作图中,如果点E在$\overset{\frown }{AB}$上,证明:EB是$\odot O$内接正十二边形的一边。

答案：

(1)如图所示，过程略。
(2)如图,联结OE。因为AE是正六边形的一边,所以$\angle AOE=\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$,AB是正方形的一边,所以$\angle AOB=\frac{360^{\circ }}{4}=90^{\circ }$,所以$\angle BOE=\angle AOB-\angle AOE=30^{\circ }$。设EB 是$\odot O$的内接正n边形的一边,则$\frac{360^{\circ }}{n}=30^{\circ }$,解得n=12,所以EB是$\odot O$内接正十二边形的一边。

13 如图,要把边长为6厘米的正三角形纸板剪去三个三角形,得到一个正六边形,求这个正六边形的周长和面积。

答案： 12cm，$6\sqrt{3}\ \text{cm}^2$。