《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

7 如图,已知在梯形 ABCD 中,$AB// CD$,且$AB= 3CD$。设$\overrightarrow{AB}= \vec{a},\overrightarrow{AD}= \vec{b}$,那么$\overrightarrow{AO}= $$\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}$。(用$\vec{a}$、$\vec{b}$的式子表示)

答案： $\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}$

8 在$\triangle ABC$中,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,$DE// BC$,且$\overrightarrow{AD}= 2\overrightarrow{DB}$,若$\overrightarrow{AB}= \vec{a},\overrightarrow{AC}= \vec{b}$,则向量$\overrightarrow{DE}$可用$\vec{a}$、$\vec{b}$表示为$\frac{2}{3}\vec{b}-\frac{2}{3}\vec{a}$。

答案： $\frac{2}{3}\vec{b}-\frac{2}{3}\vec{a}$

9 如图,在四边形 ABCD 中,E、F、G 分别是 AD、CD、BD 的中点,$\overrightarrow{AB}= \vec{a},\overrightarrow{BC}= \vec{b}$,则$\overrightarrow{EF}= $$\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$。(结果用$\vec{a}$、$\vec{b}$表示)

答案： $\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$

10 已知$AD// BC$,AC、BD 相交于点 O,且$S_{\triangle AOD}:S_{\triangle BOC}= 1:4$。设$\overrightarrow{AD}= \vec{a},\overrightarrow{DC}= \vec{b}$,那么向量$\overrightarrow{AO}= $$\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$。(用向量$\vec{a}$、$\vec{b}$表示)

答案： $\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$

11 如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 DC 上一点,AE 与 BD 交于点 F,DE:EC= 2:3。如果$\overrightarrow{AD}= \vec{a},\overrightarrow{AB}= \vec{b},$那么用$\vec{a}、$$\vec{b}$表示向量$\overrightarrow{AF}$为$\overrightarrow{AF}=\frac{5}{7}\vec{a}+\frac{2}{7}\vec{b}$。

答案： $\overrightarrow{AF}=\frac{5}{7}\vec{a}+\frac{2}{7}\vec{b}$

12 如图,已知$□ ABCD$的对角线交于点 O,点 E 为边 AD 的中点,CE 交 BD 于点 G。
(1) 求$\frac{OG}{DG}$的值;
(2) 如果设$\overrightarrow{AB}= \vec{a},\overrightarrow{BC}= \vec{b}$,试用$\vec{a}$、$\vec{b}表示\overrightarrow{GO}$。

答案：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=OD,AD//BC,AD=BC。
∴ $\frac{ED}{BC}=\frac{DG}{GB}$。
∵点E为边AD的中点，
∴$ED=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$。
∴ $\frac{DG}{GB}=\frac{1}{2}$。
∵BO=OD,
∴ $\frac{OG}{DG}=\frac{1}{2}$。
(2)
∵ $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{BC}=\vec{b}$，
∴ $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=-\vec{a}+\vec{b}$。
∵BO =OD, $\frac{OG}{DG}=\frac{1}{2}$,
∴ $\frac{OG}{BD}=\frac{1}{6}$。
∴ $\overrightarrow{GO}=\frac{1}{6}\overrightarrow{DB}=\frac{1}{6}(\vec{a}-\vec{b})$。