《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

12 随着本区近几年城市建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润$y_{1}与投资量x$成正比例关系,如图 1 所示;种植花卉的利润$y_{2}与投资量x$成二次函数关系,如图 2 所示(注:利润与投资量的单位:万元)。

(1) 分别求出利润$y_{1}与y_{2}关于投资量x$的函数关系式;
(2) 如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木,他至少获得多少利润? 他能获取的最大利润是多少?

答案：
(1) 设y₁=kx(k≠0),把P(1,2)代入得k=2,所以y₁=2x。设y₂=ax²(a≠0),把Q(2,2)代入得$a=\frac{1}{2},$所以$y₂=\frac{1}{2}x²。$
(2) 设投入树木m万元,则投入花卉(8 - m)万元$,y₁+y₂=2m+\frac{1}{2}(8 - m)²=\frac{1}{2}m²-6m+32=\frac{1}{2}(m - 6)²+14,$当m=6时,至少获得14万元利润;当m=0时,能获得的最大利润是32万元。

13 如图所示,一位篮球运动员在离篮圈水平距离为 4 m 处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当球运行的水平距离为 2.5 m 时,达到最大高度 3.5 m,然后准确落入篮框内。已知篮圈中心离地面距离为 3.05 m。
(1) 建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式;
(2) 若该运动员身高 1.8 m,这次跳投时,球在他头顶上方 0.25 m 处出手,则当球出手时,他跳离地面多高?

答案：
(1) 如图,由于OA=2.5,AB=4,得OB=4 - 2.5=1.5。所以点D坐标为(1.5,3.05)。由于抛物线顶点坐标(0,3.5),设所求抛物线的关系式为y=ax²+3.5,把D(1.5,3.05)代入上式,解得a=-0.2,所以y=-0.2x²+3.5。
(2) 由OA=2.5,设C点坐标为(-2.5,m),把C(-2.5,m)代入y=-0.2x²+3.5,得m=2.25。该运动员跳离地面高度h=m-(1.8+0.25)=2.25-(1.8+0.25)=0.2(m)。