《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

14 在矩形$ABCD$中,点$P是边AD$上的动点,联结$BP$,线段$BP的垂直平分线交边BC于点Q$,垂足为点$M$,联结$QP$(如图)。已知$AD = 13$,$AB = 5$,设$AP = x$,$BQ = y$。
(1) 求$y关于x$的函数解析式,并写出$x$的取值范围；
(2) 当以$AP长为半径的\odot P和以QC长为半径的\odot Q$外切时,求$x$的值。

答案：

(1)在Rt△ABP中,由勾股定理得BP² = AP² + AB² = x² + 25。因为MQ是线段BP的垂直平分线,所以BQ = PQ，BM = 1/2BP,∠BMQ = 90°,所以∠MBQ + ∠BQM = 90°,因为∠ABP + ∠MBQ = 90°,所以∠ABP = ∠BQM,又因为∠A = ∠BMQ = 90°,所以△ABP∽△MQB,所以BP/QB = AP/MB,即BP/y = x/(1/2BP),化简得y = 1/2xBP² = 1/2x(x² + 25)。当点Q与C重合时,BQ = PQ = 13,在Rt△PQD中,由勾股定理得PQ² = QD² + PD²,即13² = 5² + (13 - x)²,解得x = 1。又AP≤AD = 13,所以x的取值范围为1≤x ≤13。所以y = 1/2x(x² + 25)(1≤x≤13)。　
(2)当⊙P与⊙Q相外切时,如图所示,设切点为N,则PQ = PN + QN = AP + QC = AP + (BC - BQ) = x + (13 - y) = 13 + x - y。因为PQ = BQ,所以13 + x - y = y,即2y - x - 13 = 0。将y = 1/2x(x² + 25)代入上式得1/x(x² + 25) - x - 13 = 0,解此分式方程得x = 25/13。经检验,x = 25/13是原方程的解且符合题意，所以x = 25/13。