《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

11 已知点 $A(2,-2)$ 和点 $B(-4,n)$ 在抛物线 $y = ax^{2}(a \neq 0)$ 上。求 $a$ 的值及点 $B$ 的坐标。

答案： 把A(2,-2)代入抛物线y=ax²(a≠0)，a=-1/2，则抛物线解析式为y=-1/2x²，把B(-4,n)代入y=-1/2x²，得n=-8，所以B(-4,-8)。

12 抛物线 $y = ax^{2}$ 经过点 $A(-1,2)$,不求 $a$ 的大小,试判断抛物线是否经过 $A'(1,2)$ 和 $B(-2,-3)$ 两点？

答案： 根据抛物线的对称性，可以断定该抛物线经过点A'，由y=2＞0知抛物线开口向上，以原点为顶点，所以不经过点B。

13 函数 $y = ax^{2}(a \neq 0)$ 与直线 $y = 2x - 3$ 的图像交于点 $(1,b)$。
(1) 求 $a$ 和 $b$ 的值；
(2) 求抛物线 $y = ax^{2}$ 的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(3) 画出 $y = ax^{2}$ 的大致图像。

答案：
(1)a=-1，b=-1。
(2)开口方向向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0,0)。
(3)图略。

14 已知二次函数的图像的顶点在原点 $O$,且经过点 $A(1,\frac{1}{4})$。
(1) 求此函数的解析式；
(2) 将该抛物线沿着 $y$ 轴向上平移后顶点落在点 $P$ 处,直线 $x = 2$ 分别交原抛物和新抛物线于点 $M$ 和 $N$,且 $S_{\triangle PMN} = 3\sqrt{2}$,求 $MN$ 的长以及平移后抛物线的表达式。

答案：
(1)设抛物线的表达式为y=ax²(a≠0)，把A(1,1/4)代入得a=1/4，所以y=1/4x²。
(2)设平移后的抛物线为y=1/4x²+c(c＞0)，所以P(0,c)，当x=2时，M(2,1)，N(2,1+c)，S△PMN=1/2·c·2=3√2，所以c=3√2，所以抛物线的表达式为y=1/4x²+3√2。