《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

24 在$Rt\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,$AC= 6$,$sinB= \frac {3}{5}$,$\odot B$的半径长为1,$\odot B$交边CB于点P,点O是边AB上的动点。
(1)如图1,将$\odot B$绕点P旋转$180^{\circ }得到\odot M$,请判断$\odot M$与直线AB的位置关系;
(2)如图2,在(1)的条件下,当$\triangle OMP$是等腰三角形时,求OA的长;
(3)如图3,点N是边BC上的动点,如果以NB为半径的$\odot N$和以OA为半径的$\odot O$外切,设$NB= y$,$OA= x$,求y关于x的函数关系式及定义域。

答案：
(1) 在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^\circ$,因为$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，$AC=6$,所以$AB=10$，$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$,过点M作$MD\perp AB$,垂足为点D。在$\text{Rt}\triangle MDB$中，$\angle MDB=90^\circ$,所以$\sin B=\frac{MD}{MB}=\frac{3}{5}$,因为$MB=2$,所以$MD=\frac{3}{5}×2=\frac{6}{5}＞1$,所以$\odot M$与直线AB相离。
(2)分三种情况:$1^\circ$因为$MD=\frac{6}{5}＞1=MP$,所以$OM＞MP$;$2^\circ$当$OP=MP$时,易得$\angle MOB=90^\circ$,所以$\cos B=\frac{OB}{BM}=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{10}$,所以$OB=\frac{8}{5}$,所以$OA=\frac{42}{5}$;$3^\circ$当$OM=OP$时,过点O作$OE\perp BC$,垂足为点E。所以$\cos B=\frac{EB}{OB}=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{10}$,所以$OB=\frac{15}{8}$,所以$OA=\frac{65}{8}$。综合$1^\circ$、$2^\circ$、$3^\circ$,当$\triangle OMP$是等腰三角形时，OA的长为$\frac{42}{5}$或$\frac{65}{8}$。
(3)联结ON,过点N作$NF\perp AB$,垂足为点F。在$\text{Rt}\triangle NFB$中，$\angle NFB=90^\circ$，$\sin B=\frac{3}{5}$，$NB=y$,所以$NF=\frac{3}{5}y$，$BF=\frac{4}{5}y$;所以$OF=10-x-\frac{4}{5}y$,因为$\odot N$和$\odot O$外切,所以$ON=x+y$;在$\text{Rt}\triangle NFO$中，$\angle NFO=90^\circ$,所以$ON^2=OF^2+NF^2$,即$(x+y)^2=(10-x-\frac{4}{5}y)^2+(\frac{3}{5}y)^2$。所以$y=\frac{250-50x}{x+40}$,定义域为$0＜x＜5$。