《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

14 如图,在矩形 $ ABCD $ 中,$ AB = 2AD $。线段 $ EF = 10 $,在 $ EF $ 上取一点 $ M $,分别以 $ EM $、$ MF $ 为一边作矩形 $ EMNH $、矩形 $ MFGN $,使矩形 $ MFGN $ 和矩形 $ ABCD $ 相似。令 $ MN = x $,当 $ x $ 为何值时,矩形 $ EMNH $ 的面积有最大值,最大值是多少?

答案： 由矩形MFGN和矩形ABCD相似,得两种情况:①$\frac{MN}{AD}=\frac{MF}{AB}$此时$EM=10-2x(0＜x＜5)$,矩形EMNH的面积为$x(10-2x)=-2(x-\frac{5}{2})^{2}+\frac{25}{2}$,当$x=\frac{5}{2}$时,其面积的最大值为$\frac{25}{2}$;②$\frac{MN}{AB}=\frac{MF}{AD}$,此时$EM=10-\frac{1}{2}x(0＜x＜20)$,矩形EMNH的面积为$x(10-\frac{1}{2}x)=-\frac{1}{2}(x-10)^{2}+50$,当$x=10$时,其面积的最大值为50。综上所述,当$x=10$时,矩形EMNH的面积有最大值,为50。