《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

13 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$\angle A= 30^{\circ}$,$AB= 8$,$\odot O$的半径为 3,圆心$O在AB$边上。如果$\odot O与BC$相离,与线段$AC交于点D和点E$($D$、$E$两点不重合),设$AO= x$,$DE= y$。求$y与x$之间的函数解析式,并写出定义域。

答案： 过点O作$OF\perp DE$于点F，联结OE。因为OF过圆心，且$OF\perp DE$，所以$EF=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}y$。在$\text{Rt}\triangle AOF$中，$AO=x$，$\angle A=30^\circ$，所以$OF=\frac{1}{2}x$。在$\text{Rt}\triangle EOF$中，$EF^2+OF^2=OE^2$，所以$\left(\frac{1}{2}y\right)^2+\left(\frac{1}{2}x\right)^2=3^2$，整理得$y=\sqrt{36-x^2}$。定义域：$3\leqslant x＜8-2\sqrt{3}$。

14 如图,$\odot O是Rt\triangle ABC$的外接圆,$\angle ABC= 90^{\circ}$,$P是\odot O$外一点,$PA切\odot O于点A$,且$PA= PB$。
(1) 求证：$PB是\odot O$的切线；
(2) 已知$PA= \sqrt{3}$,$BC= 1$,求$\odot O$的半径。

答案： （1）联结OB，因为$OA=OB$，所以$\angle OAB=\angle OBA$。同理，$\angle PAB=\angle PBA$。因为PA是$\odot O$切线，所以$\angle PAO=\angle PBO=90^\circ$，即PB$\perp$半径OB，所以PB是$\odot O$的切线。（2）联结PO交AB于点D。由PO垂直平分AB，得$\angle PAO=\angle PDA=90^\circ$，又因为$\angle APO=\angle DPA$，所以$\triangle APO\backsim \triangle DPA$，可得$PA^2=PD\cdot PO$。因为$OD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$，所以$(\sqrt{3})^2=\left(PO-\frac{1}{2}\right)\cdot PO$，解得$PO=2$。所以在$\text{Rt}\triangle APO$中，$OA^2=\sqrt{PO^2-PA^2}=1$，即$\odot O$的半径长为1。