《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

12 如图,CE 交$\triangle ABC$的高 AD 于点 O,交 AB 于点 E,且$CO\cdot BD= AB\cdot OD$,求证:$CE⊥AB$。

答案：
∵ AD 是△ABC 的高，
∴ ∠ADB=∠CDO=90°，∠COD+∠OCD=90°。
∵ CO·BD=AB·OD，
∴ $\frac{BD}{AB}=\frac{OD}{CO}$，
∴ △ABD∽△COD。
∴ ∠BAD=∠OCD。
∴ ∠BAD+∠COD=90°。
∵ ∠AOE=∠COD，
∴ ∠BAD+∠AOE=90°。
∴ CE⊥AB。

13 如图,P 是正方形 ABCD 的边 BC 上的一点,$BP= 3PC$,M 是 CD 的中点,$MN⊥AP$于点 N,求证:$MN^{2}= AN\cdot PN$。

答案： 联结 PM、AM。先证△PMN∽△PAM，即可得∠NMP=∠PAM，再证△PMN∽△MAN，得$\frac{MN}{AN}=\frac{PN}{MN}$，即有$MN^2=PN·AN$。

14 在$\triangle ABC$中,点 P、D 分别在边 BC、AC 上,$PA⊥AB$,垂足为点 A,$DP⊥BC$,垂足为点 P,$\frac {AP}{PD}= \frac {BP}{CD}$。
(1) 求证:$∠APD= ∠C;$
(2) 如果$AB= 3,DC= 2$,求 AP 的长。

答案：
(1) 由题意得∠BAP=∠CPD=90°。在Rt△ABP与Rt△PCD中，$\frac{AP}{PD}=\frac{BP}{CD}$，
∴ Rt△ABP∽Rt△PCD。
∴ ∠APB=∠PDC。
∵ ∠DPB=∠APB+∠APD=∠C+∠PDC，
∴ ∠APD=∠C。
(2)
∵ Rt△ABP∽Rt△PCD。
∴ ∠B=∠C。
∴ AB=AC。
∵ AB=3，DC=2，
∴ AD=1。
∵ ∠APD=∠C，∠PAD=∠CAP，
∴ △APD∽△ACP。
∴ $\frac{AD}{AP}=\frac{AP}{AC}$。得$AP=\sqrt{3}$。

15 在平行四边形 ABCD 中,过点 C 分别作 AD、AB 的垂线,分别交边 AD、AB 延长线于点 E、F。
(1) 求证:$AD\cdot DE= AB\cdot BF;$
(2) 联结 AC,如果$\frac {CF}{DE}= \frac {AC}{CD}$,求证:$\triangle ACF\backsim \triangle CBF$。

答案：
(1) 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//CD，AD//BC，所以∠FBC=∠BCD，∠BCD=∠EDC，所以∠FBC=∠EDC。又因为CE⊥DE，CF⊥BF，所以∠DEC=∠BFC=90°，所以△DEC∽△BFC，所以$\frac{DE}{BF}=\frac{DC}{BC}$。又因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC，AD=BC，所以$\frac{DE}{BF}=\frac{AB}{AD}$，即AD·DE=AB·BF。
(2) 联结AC。由
(1)知∠DEC=∠BFC=90°，△DEC∽△BFC。因为$\frac{CF}{DE}=\frac{AC}{CD}$，∠DEC=∠BFC=90°，所以△ACF∽△CDE。又△DEC∽△BFC，所以△ACF∽△CBF。