《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

13 已知抛物线$y = ax^{2} + bx + c的对称轴与x轴的交点为M(- 3,0)$,抛物线上三点$A$、$B$、$C到点M的距离都为5$,其中点$A$、$B在x$轴上(点$A在点B$的左侧),点$C在y$轴正半轴上,抛物线的顶点为点$P$,求这条抛物线的表达式及顶点坐标。

答案： 因为点 A、B 在 x 轴上，且到点 M 的距离为 5，所以 A(-8，0)、B(2，0)。因为 MO=3，MC=5，根据勾股定理可得 CO=4，点 C 在 y 轴正半轴上，所以 C(0，4)，把 A、B、C 三点代入 y=ax²+bx+c，可得$\begin{cases} 64a-8b+c=0, \\ 4a+2b+c=0, \\ c=4, \end{cases}$解得 a=-$\frac{1}{4}$，b=-$\frac{3}{2}$，c=4，代回可得 y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4，顶点为(-3，$\frac{25}{4}$)。

14 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$y = - \frac{2}{3}x^{2} + bx + c与x轴交于点A(- 3,0)和点B$,与$y轴交于点C(0,2)$。
(1) 求抛物线的表达式,并用

配

方

法

求出顶点$D$的坐标；
(2) 若点$E是点C$关于抛物线对称轴的对称点,求$\tan\angle CEB$的值。

答案： （1）把点 A(-3，0)、点 C(0，2)代入 y=-$\frac{2}{3}$x²+bx+c，可得$\begin{cases} -6-3b+c=0, \\ c=2, \end{cases}$解得 b=-$\frac{4}{3}$，c=2，代回可得 y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2。因为 y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2=-$\frac{2}{3}$(x+1)²+$\frac{8}{3}$，所以顶点 D(-1，$\frac{8}{3}$)。（2）点 E 是点 C 关于抛物线对称轴的对称点，对称轴是直线 x=-1，则点 E(-2，2)，EC//x 轴，过点 E 作 EH⊥x 轴，垂足为点 H，则∠CEB=∠EBH，所以 tan∠CEB=tan∠EBH=$\frac{EH}{BH}$=$\frac{2}{3}$。