《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

19 已知抛物线$y= x^{2}+bx-3经过点A(1,0)$,顶点为点M。
(1)求抛物线的表达式及顶点M的坐标;
(2)求$∠OAM$的正弦值。

答案： （1）把A(1,0)代入$y=x^2+bx-3$得b=2，则抛物线的表达式为$y=x^2+2x-3，$顶点M的坐标为(-1,-4)。（2）过点M作MH⊥x轴于点H，$\sin\angle OAM=\frac{MH}{AM}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2}{5}\sqrt{5}。$

20 已知抛物线$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)$向右平移2个单位得到抛物线$y= a(x-3)^{2}-1$,且平移后的抛物线经过点$A(2,1)$。
(1)求平移后抛物线的表达式;
(2)设原抛物线与y轴的交点为B,顶点为P,平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M,求$△BPM$的面积。

答案： （1）把A(2,1)代入$y=a(x-3)^2-1，$得a=2，所以平移后的抛物线表达式为$y=2(x-3)^2-1。$ （2）原抛物线为$y=2(x-1)^2-1，$与y轴的交点B为(0,1)，顶点为P(1,-1)，平移后抛物线的对称轴与x轴的交点为M(3,0)，所以$BM=\sqrt{10}，$$BP=\sqrt{5}，$$PM=\sqrt{5}，$所以$BM^2=BP^2+PM^2，$所以△BMP为直角三角形，$S_{\triangle BPM}=\frac{1}{2}BP\cdot PM=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{5}=\frac{5}{2}。$

21 如图在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,点A的坐标为$(-1,2)$,点B在第一象限,且$OB⊥OA,OB= 2OA$,求图像经过A、B、O三点的二次函数解析式。

答案： 过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，易证△AOC∽△OBD，又OB=2OA，所以BD=2OC=2，OD=2AC=4，所以B(4,2)。设二次函数解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)，$把A(-1,2)、B(4,2)、O(0,0)代入解析式得$\begin{cases}c=0,\\a-b+c=2,\\16a+4b+c=2,\end{cases}$解得$a=\frac{1}{2}，$$b=-\frac{3}{2}，$c=0，所以二次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x。$