《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

13 如图,已知在直角坐标平面中,点 $A$ 在第二象限内,点 $B$ 和点 $C$ 在 $x$ 轴上,原点 $O$ 为边 $BC$ 的中点,$BC = 4$,$AO = AB$,$\tan \angle AOB = 3$,求图像经过 $A$、$B$、$C$ 三点的二次函数解析式。

答案： 因为原点O为边BC的中点,BC=4,所以B(-2,0),C(2,0),过点A作AH⊥x轴于点H,因为AO=AB,所以OH=BH=1,因为tan∠AOB=3,AH=3,所以A(-1,3),设二次函数解析式为y=ax²+bx+c,把A(-1,3)、B(-2,0)、C(2,0)代入得{a-b+c=3,4a-2b+c=0,4a+2b+c=0,解得{a=-1,b=0,c=4。所以二次函数解析式为y=-x²+4。

14 在平面直角坐标系 $xOy$ 中,已知抛物线 $y = -x^{2} + bx + c$ 经过点 $A(2, 2)$,对称轴是直线 $x = 1$,顶点为 $B$。
(1) 求这条抛物线的表达式和点 $B$ 的坐标；
(2) 点 $M$ 在对称轴上,且位于顶点上方,设它的纵坐标为 $m$,联结 $AM$,用含 $m$ 的代数式表示 $\angle AMB$ 的余切值；
(3) 将该抛物线向上或向下平移,使得新抛物线的顶点 $C$ 在 $x$ 轴上,原抛物线上一点 $P$ 平移后的对应点为 $Q$,如果 $OP = OQ$,求点 $Q$ 的坐标。

答案：
(1)把A(2,2)代入y=-x²+bx+c,得2=-4+2b+c,又对称轴x=-b/(2a)=b/2=1,得b=2,代入2=-4+2b+c得c=2,所以这条抛物线的表达式为y=-x²+2x+2。当x=1时,y=3,所以顶点B的坐标为(1,3);或把y=-x²+2x+2配方成y=-(x-1)²+3,得顶点B的坐标为(1,3)。
(2)过点A作AD⊥直线x=1,垂足为点D,则M(1,m),D(1,2),AD=1,MD=m-2,在Rt△AMD中,∠ADM=90°,cot∠AMB=MD/AD=m-2。
(3)因为对称轴x=1与x轴的交点为C,所以点C坐标为(1,0),将顶点B(1,3)平移至点C,知抛物线y=-x²+2x+2向下平移3个单位,所以新抛物线表达式为y=-x²+2x-1,联结PQ,因为OP=OQ,PQ⊥x轴,所以P、Q关于x轴对称,PQ=3,所以Q点纵坐标为-3/2,把y=-3/2代入y=-x²+2x-1,解得x=(2±√6)/2,所以Q₁((2+√6)/2,-3/2),Q₂((2-√6)/2,-3/2)。