《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

22 如图,在直角坐标系中,O为原点。点A在x轴的正半轴上,点B在y轴的正半轴上,$tan∠OAB= 2$。二次函数$y= x^{2}+mx+2$的图像经过点A、B,顶点为D。
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)将$△OAB$绕点A顺时针旋转$90^{\circ }$后,点B落到点C的位置。将上述二次函数图像沿y轴向上或向下平移后经过点C,请直接写出点C的坐标和平移后所得图像的函数解析式。

答案： （1）由题意得点B(0,2)，因为$\tan\angle OAB=2，$所以OA=1，得A(1,0)，把A(1,0)代入$y=x^2+mx+2$得m=-3，所以二次函数的解析式为$y=x^2-3x+2。$ （2）作CE⊥x轴于点E，易证△CAE≌△ABO，可得AE=BO=2，CE=AO=1，可得C(3,1)，设平移后所得图像的函数解析式为$y=x^2-3x+k，$把C(3,1)代入得k=1，所以平移后所得图像的函数解析式为$y=x^2-3x+1。$

23 甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球,已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,甲在离地面1米的C处发出一球,乙在离地面1.5米的D处成功击球,球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米。现以A为原点,直线AB为x轴,建立平面直角坐标系(如图所示)。求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度。

答案： 由题意得点C(0,1)，B(6,1.5)，AE=4，最高点H，则HE所在直线为对称轴，可设函数解析式为$y=a(x-4)^2+k(a≠0)，$把C(0,1)、B(6,1.5)代入得$a=-\frac{1}{24}，$$k=\frac{5}{3}，$所以函数解析式为$y=-\frac{1}{24}(x-4)^2+\frac{5}{3}，$飞行的最高高度为$\frac{5}{3}$米。

24 在平面直角坐标系xOy中,已知点$A(-1,2),B(1,6),C(1,4)$。如果抛物线$y= ax^{2}+bx+3(a≠0)$恰好经过这三个点之中的两个点。
(1)试推断抛物线$y= ax^{2}+bx+3$经过点A、B、C之中的哪两个点? 简述理由。
(2)求常数a与b的值。
(3)将抛物线$y= ax^{2}+bx+3$先沿与y轴平行的方向向下平移2个单位长度,再沿与x轴平行的方向,向右平移$t(t＞0)$个单位长度,如果所得到的新抛物线经过点$C(1,4)$。设这个新抛物线的顶点是D,试探究$△ABD$的形状(写出简要的计算与推理过程)。

答案： （1）抛物线$y=ax^2+bx+3$经过点A与点B。理由如下：因为点B(1,6)与点C(1,4)的横坐标相同、纵坐标不同，所以点B与点C不可能同时出现在函数$y=ax^2+bx+3$的图像上。因为当x=0时，$y=ax^2+bx+3=3，$所以点(0,3)在抛物线$y=ax^2+bx+3$上。设经过点M(0,3)与点A(-1,2)的直线表达式为y=kx+b(k≠0)，将A(-1,2)、M(0,3)代入y=kx+b，易得b=3，k=1，进而得到y=x+3。因为当x=1时，y=x+3=4，所以点C(1,4)在直线y=x+3上。所以点A(-1,2)、M(0,3)、C(1,4)不可能同时出现在函数$y=ax^2+bx+3$的图像上。 （2）由抛物线$y=ax^2+bx+3$经过点A(-1,2)与点B(1,6)，易得$\begin{cases}a-b+3=2,\\a+b+3=6,\end{cases}$解这个方程组得$\begin{cases}a=1,\\b=2。$$\end{cases}（3）$由第
(2)小题可知，抛物线的表达式为$y=x^2+2x+3。$即$y=(x+1)^2+2，$顶点坐标为(-1,2)。将该抛物线向下平移2个单位长度，再沿与x轴平行的方向，向右平移t(t＞0)个单位长度，所得表达式为$y=(x+1-t)^2。$因为点C(1,4)在抛物线$y=(x+1-t)^2$上，解得t₁=0(不合题意，舍去)，t₂=4，得$y=(x-3)^2，$所以顶点D的坐标为(3,0)。易得$AD=2\sqrt{5}，$$AB=2\sqrt{5}，$$BD=2\sqrt{10}，$则$AD^2+AB^2=BD^2，$可得$\angle BAD=90^\circ，$△ABD是直角三角形，由$AD=AB=2\sqrt{5}，$可得△ABD是等腰三角形。综上，△ABD是等腰直角三角形。