《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

6 如图,海中有一个小岛A,该岛的四周10海里的范围内有暗礁,有一货轮在海面上由西向东航行,到达B处时,该货轮位于小岛南偏西60°的方向上,再往东行驶20海里后到达小岛的南偏西30°的方向上的C处,如果货轮继续向东航行,是否会有触礁危险?请通过计算说明。

答案： 如图，过点A作AH垂直于BC交BC的延长线于点H。由题意可得∠BAH = 60°，∠CAH = 30°，
∴∠ABH = 30°，∠ACH = 60°。设CH = x，在Rt△ACH中，tan60°=$\frac{AH}{CH}$=$\sqrt{3}$，AH = $\sqrt{3}$CH = $\sqrt{3}$x。在Rt△ABH中，tan30°=$\frac{AH}{BH}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，BH = 3x。
∵BC = 20，
∴BH = BC + CH = 20 + x。
∴20 + x = 3x，得x = 10。AH = $\sqrt{3}$x = 10$\sqrt{3}$(海里)，10$\sqrt{3}$＞10，所以不会有触礁危险。

7 如图,小岛B正好在深水港口A的东南方向,一艘集装箱货船从港口A出发,沿正东方向以每小时30千米的速度行驶,40分钟后在C处测得小岛B在它的南偏东15°方向,求小岛B离深水港口A的距离(精确到0.1千米)。(参考数据:√2≈1.41,√6≈2.45,sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27)

答案： 由题意可得AC = 30×$\frac{2}{3}$ = 20(千米)，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，在Rt△ADC中，∠ADC = 90°，∠CAD = 45°，
∴AD = ACcos45° = 10$\sqrt{2}$(千米)，CD = ACsin45° = 10$\sqrt{2}$(千米)，在Rt△BDC中，∠BDC = 90°，∠B = 90° - 45° - 15° = 30°，
∴BD = $\frac{CD}{tan30°}$ = 10$\sqrt{6}$(千米)，
∴AB = AD + BD = 10($\sqrt{2}$ + $\sqrt{6}$)≈38.6(千米)。