《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

10 定义：关于 $x$ 的函数 $y = ax^{2} + bx$ 与 $y = bx^{2} + ax$ (其中 $a \neq b$) 叫做互为交换函数,如 $y = 3x^{2} + 4x$ 与 $y = 4x^{2} + 3x$ 就是互为交换函数。如果函数 $y = 2x^{2} + bx$ 与它的交换函数图像的顶点关于 $x$ 轴对称,那么 $b = $-2。

答案： -2（提示:函数y=2x²+bx的交换函数为y=bx²+2x,顶点分别为(-b/4,-b²/8)和(-1/b,-1/b),它们关于x轴对称,则-b/4=-1/b,-b²/8=-(-1/b),解得b=-2。）

11 如图,在直角坐标系中,已知直线 $y = -\frac{1}{2}x + 4$ 与 $y$ 轴交于 $A$ 点,与 $x$ 轴交于 $B$ 点,$C$ 点的坐标为 $(-2, 0)$。
(1) 求经过 $A$、$B$、$C$ 三点的抛物线的表达式；
(2) 如果 $M$ 为抛物线的顶点,联结 $AM$、$BM$,求四边形 $AOBM$ 的面积。

答案： 因为直线y=-1/2x+4与y轴交于A点,与x轴交于B点,所以A(0,4),B(8,0)。设过A、B、C(-2,0)的抛物线为y=a(x+2)(x-8),将A(0,4)代入得a=-1/4,则过A、B、C三点的抛物线的表达式为y=-1/4x²+3/2x+4。
(2)抛物线的表达式经配方得y=-1/4(x-3)²+25/4。因此抛物线的顶点M(3,25/4),过点M作MH⊥x轴于点H,四边形AOBM的面积=梯形AOHM的面积+△MHB的面积=1/2(4+25/4)×3+1/2×25/4×5=31。

12 已知二次函数 $y = (m^{2} - 2)x^{2} - 4mx + n$ 的图像的对称轴是直线 $x = 2$,且最高点在直线 $y = \frac{1}{2}x + 1$ 上,求这个二次函数的解析式。

答案： 因为二次函数的对称轴x=2,且图像顶点的横坐标为2,又它在直线y=1/2x+1上。所以y=1/2×2+1=2,因为图像顶点坐标为(2,2),-(-4m)/(2(m²-2))=2。解得m=-1或m=2。因为最高点在直线上,所以m=-1,即y=-x²+4x+n的顶点为(2,2),即得2=-4+8+n。解得n=-2,所以y=-x²+4x-2。