《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

1 已知两圆的半径分别是 3 和 5,圆心距是 7,这两个圆的位置关系是(B)。
A.内切
B.相交
C.外离
D.外切

答案： B

已知$\odot O_{1}和\odot O_{2}$的半径分别是 2 和 1,若两圆相交,则圆心距$O_{1}O_{2}$可以是(A)。
A.2
B.4
C.6
D.8

答案： 【解析】：
本题考查圆与圆的位置关系，具体是考察两圆相交时圆心距的取值范围。
根据圆与圆的位置关系知识，当两圆相交时，圆心距$O_{1}O_{2}$应满足以下条件：
$R - r \lt O_{1}O_{2} \lt R + r$。
其中，$R$ 和 $r$ 分别是两圆的半径。
在本题中，已知两圆的半径分别是 2 和 1，所以我们可以将这些值代入上述不等式中，得到：
$2 - 1 \lt O_{1}O_{2} \lt 2 + 1$，
即：$1 \lt O_{1}O_{2} \lt 3$。
接下来，我们比较选项中的各个值，看哪一个满足这个条件。
A. $2$ 在 $(1, 3)$ 范围内，符合条件。
B. $4$ 不在 $(1, 3)$ 范围内，不符合条件。
C. $6$ 不在 $(1, 3)$ 范围内，不符合条件。
D. $8$ 不在 $(1, 3)$ 范围内，不符合条件。
因此，只有选项 A 符合条件。
【答案】：
A

在$Rt\triangle ABC$中,已知$∠C= 90^{\circ },AC= BC= 4$,以点 A、B、C 为圆心的圆分别记作圆 A、圆 B、圆 C,这三个圆的半径长都等于 2,那么下列结论正确的是(A)。
A.圆 A 与圆 B 外离
B.圆 B 与圆 C 外离
C.圆 A 与圆 C 外离
D.圆 A 与圆 B 相交

答案： 【解析】：
首先，我们需要明确题目给出的条件：在直角三角形$ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，且$AC = BC = 4$。以点A、B、C为圆心的圆的半径都等于2。
接下来，我们计算各点之间的距离：
* $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$
* $AC = 4$
* $BC = 4$
然后，我们根据圆与圆的位置关系进行判断：
* 圆A与圆B：圆心距$AB = 4\sqrt{2}$，两圆半径之和为$2 + 2 = 4$。由于$4\sqrt{2} ＞ 4$，所以圆A与圆B外离。
* 圆B与圆C：圆心距$BC = 4$，两圆半径之和为$2 + 2 = 4$。由于$BC$等于两圆半径之和，所以圆B与圆C外切，但题目中未给出此选项。
* 圆A与圆C：圆心距$AC = 4$，两圆半径之和为$2 + 2 = 4$。由于$AC$等于两圆半径之和，所以圆A与圆C外切，但题目中未给出此选项。
最后，我们根据题目给出的选项进行判断：
A. 圆A与圆B外离：正确，因为$AB ＞ 4$。
B. 圆B与圆C外离：错误，因为$BC = 4$，两圆外切。
C. 圆A与圆C外离：错误，因为$AC = 4$，两圆外切。
D. 圆A与圆B相交：错误，因为$AB ＞ 4$，两圆外离。
【答案】：
A

4 已知$\odot A与\odot B$外切,$\odot C与\odot A$、$\odot B$都内切,且$AB= 5,AC= 6,BC= 7$,那么$\odot C$的半径长是(C)。
A.11
B.10
C.9
D.8

答案： 【解析】：
本题考查圆与圆的位置关系，特别是内切和外切的条件。
设$\odot A$，$\odot B$，$\odot C$的半径分别为$r_1$，$r_2$，$r_3$。
根据题意，$\odot A$与$\odot B$外切，所以有：
$AB = r_1 + r_2 = 5$，
同样，$\odot C$与$\odot A$、$\odot B$都内切，所以有：
$AC = |r_3 - r_1| = 6$，
$BC = |r_3 - r_2| = 7$，
分两种情况考虑：
当$r_3 ＞ r_1$且$r_3 ＞ r_2$时，
$AC = r_3 - r_1 = 6$，
$BC = r_3 - r_2 = 7$，
两式相减，得到：
$r_2 - r_1 = -1$，
将这个结果与$AB = r_1 + r_2 = 5$联立，
解得：
$r_1 = 3$，
$r_2 = 2$（由于$r_2$代表半径，必须是正数，所以此解是合理的），
进一步得到：
$r_3 = AC + r_1 = 6 + 3 = 9$，
当$r_3 ＜ r_1$且$r_3 ＜ r_2$时，该种情况下，计算得出的半径会出现负数，由于半径不能是负数，所以这种情况不合理，舍去。
综上所述，本题的答案为：C。
【答案】：
C。

5 圆与圆的位置关系：没有公共点,两圆相离；有唯一公共点,两圆相切；有两个公共点,两圆相交。相离又分为外离和内含,相切又分为外切和内切。

答案： 【解析】：
本题考察的是圆与圆之间的位置关系。根据圆与圆之间的相对位置和距离，我们可以确定它们之间的关系。当两圆没有公共点时，它们被称为相离；当有唯一公共点时，它们被称为相切；当有两个公共点时，它们被称为相交。进一步地，相离还可以细分为外离和内含，其中外离指的是两圆完全分开，而内含指的是一个圆完全包含在另一个圆内。相切则可以分为外切和内切，外切指的是两圆在外部接触，内切指的是一个圆在内部与另一个圆接触。
【答案】：
相离；相切；相交；外离；内含；外切；内切。

6 已知两个同心圆,大圆半径为 10 cm,小圆半径为 6 cm,若有一圆与这两个圆都相切,那么这个圆的半径是2 cm或8 cm。

答案： 解：设所求圆的半径为$r$cm。
情况一：所求圆与大圆内切，与小圆外切。
则有$10 - r = 6 + r$，
解得$r = 2$。
情况二：所求圆与大圆内切，与小圆内切。
则有$10 - r = r - 6$，
解得$r = 8$。
故这个圆的半径是$2$cm或$8$cm。

7 如图,$\odot A$、$\odot B$的圆心 A、B 都在直线 l 上,$\odot A$的半径为 1 cm,$\odot B$的半径为 2 cm,圆心距$AB= 6cm$。现$\odot A$沿直线 l 以每秒 1 cm 的速度向右移动,设运动时间为 t 秒,写出两圆相交时,t 的取值范围为$3＜t＜5$或$7＜t＜9$。

答案： 解：两圆半径分别为$r = 1\space cm$，$R=2\space cm$，圆心距初始$AB = 6\space cm$。$\odot A$向右移动$t$秒后，圆心距$d=\vert6 - t\vert\space cm$。
两圆相交时，$R - r＜d＜R + r$，即$2 - 1＜\vert6 - t\vert＜2 + 1$。
$1＜\vert6 - t\vert＜3$
当$6 - t＞0$，即$t＜6$时：$1＜6 - t＜3$，解得$3＜t＜5$；
当$6 - t＜0$，即$t＞6$时：$1＜t - 6＜3$，解得$7＜t＜9$。
综上，$t$的取值范围为$3＜t＜5$或$7＜t＜9$。
答案：$3＜t＜5$或$7＜t＜9$

8 在平面直角坐标系中,我们把半径相等且外切、连心线与直线$y= x$平行的两个圆,称之为“孪生圆”。已知圆 A 的圆心为$(-2,3)$,半径为$\sqrt {2}$,那么圆 A 的所有“孪生圆”的圆心坐标为$(0,5)$，$(-4,1)$。

答案： 解：设孪生圆圆心为$B(x,y)$。
因为连心线与直线$y=x$平行，所以$k_{AB}=1$，即$\frac{y - 3}{x - (-2)} = 1$，化简得$y = x + 5$。
两圆外切，半径均为$\sqrt{2}$，则$AB = 2\sqrt{2}$。
由距离公式得$\sqrt{(x + 2)^2 + (y - 3)^2} = 2\sqrt{2}$，将$y = x + 5$代入，
$\sqrt{(x + 2)^2 + (x + 5 - 3)^2} = 2\sqrt{2}$，即$\sqrt{(x + 2)^2 + (x + 2)^2} = 2\sqrt{2}$，
$\sqrt{2(x + 2)^2} = 2\sqrt{2}$，$|x + 2| = 2$，解得$x = 0$或$x = -4$。
当$x = 0$时，$y = 0 + 5 = 5$；当$x = -4$时，$y = -4 + 5 = 1$。
所以圆心坐标为$(0,5)$或$(-4,1)$。
$(0,5)$，$(-4,1)$

9 如图,$\odot P内切于\odot O$,$\odot O$的弦 AB 与$\odot P$相切,且$AB// OP$。若$\odot O$的半径为 3,$\odot P$的半径为 1,则四边形 ABPO 的面积为____$2\sqrt{2} + 1$。

答案： 解：联结 $ OP $，过点 $ P $ 作 $ PC \perp AB $ 于点 $ C $。
因为 $ \odot P $ 内切于 $ \odot O $，所以 $ OP = 3 - 1 = 2 $。
因为 $ AB $ 与 $ \odot P $ 相切，所以 $ PC = 1 $。
因为 $ AB // OP $，所以 $ PC $ 为 $ AB $ 与 $ OP $ 间的距离，即四边形 $ ABPO $ 的高为 $ 1 $。
联结 $ OA $，过点 $ O $ 作 $ OD \perp AB $ 于点 $ D $，则 $ OD = PC = 1 $。
在 $ Rt\triangle OAD $ 中，$ AD = \sqrt{OA^2 - OD^2} = \sqrt{3^2 - 1^2} = 2\sqrt{2} $，所以 $ AB = 2AD = 4\sqrt{2} $。
四边形 $ ABPO $ 的面积 $ = \frac{1}{2} × (AB + OP) × PC = \frac{1}{2} × (4\sqrt{2} + 2) × 1 = 2\sqrt{2} + 1 $。
答案：$ 2\sqrt{2} + 1 $