《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

11 将抛物线$y = - x^{2}$平移,平移后的抛物线与$x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0)$,与$y轴交于点C$,顶点为$D$。求平移后的抛物线的表达式和点$D$的坐标。

答案： 【解析】：
题目考查了二次函数的平移以及二次函数的一般表达式。
首先，由于平移后的抛物线与$x$轴交于点$A(-1,0)$和点$B(3,0)$，可以设平移后的抛物线的表达式为交点式：
$y = a(x + 1)(x - 3)$，
其中，$a$是待求的系数。
接着，由于原抛物线$y = -x^2$的开口向下，所以平移后的抛物线开口也向下，即$a ＜ 0$。
又因为平移不改变抛物线的开口大小，所以$a$的绝对值应与原抛物线的绝对值相同，即$|a| = 1$。
由于$a ＜ 0$，所以$a = -1$。
代入$a$的值，得到平移后的抛物线的表达式为：
$y = -(x + 1)(x - 3) = -x^2 + 2x + 3$，
最后，为了找到顶点$D$的坐标，可以将抛物线的表达式化为顶点式：
$y = -x^2 + 2x + 3 = -(x - 1)^2 + 4$，
由此，可以直接读出顶点$D$的坐标为$(1, 4)$。
【答案】：
平移后的抛物线的表达式为$y = -x^2 + 2x + 3$，点$D$的坐标为$(1, 4)$。

12 在直角坐标平面内,二次函数图像的顶点为$A(1,-4)$,且过点$B(3,0)$。
(1)求该二次函数的解析式；
(2)将该二次函数图像向右平移几个单位,可使平移后所得图像经过坐标原点？并直接写出平移后所得图像与$x$轴的另一个交点的坐标。

答案： 【解析】：
(1) 根据题目给出的二次函数顶点为$A(1,-4)$，我们可以设二次函数的解析式为$y = a(x - 1)^{2} - 4$。
又因为二次函数图像过点$B(3,0)$，我们可以将这个点的坐标代入解析式，得到方程$0 = a(3 - 1)^{2} - 4$，即$0 = 4a - 4$。
解这个方程，我们可以得到$a = 1$。
所以，该二次函数的解析式为$y = (x - 1)^{2} - 4$，进一步展开得到$y = x^{2} - 2x - 3$。
(2) 要使二次函数图像经过坐标原点，即当$x=0$时，$y=0$。
原函数为$y = (x - 1)^{2} - 4$，平移后的函数形式应为$y = (x - 1 - n)^{2} - 4$，其中$n$为平移的单位数。
将$(0,0)$代入平移后的函数，得到$0 = (-1 - n)^{2} - 4$，解得$n = 1$或$n = -3$。
由于是向右平移，所以$n$应为正数，即$n = 1$。
因此，需要将该二次函数图像向右平移1个单位，平移后所得图像经过坐标原点。
平移后的函数解析式变为$y = (x - 2)^{2} - 4$，令$y=0$，解得$x = 0$或$x = 4$。
由于平移后的图像经过坐标原点，所以另一个交点的坐标为$(4,0)$。
【答案】：
(1) 该二次函数的解析式为$y = x^{2} - 2x - 3$。
(2) 需要将该二次函数图像向右平移1个单位，平移后所得图像与$x$轴的另一个交点的坐标为$(4,0)$。

13 在直角坐标系中,已知直线$y = x + 1与x轴交于点A$,与$y轴交于点B$,抛物线$y = \frac{1}{2}(x - m)^{2} + n的顶点D在直线AB$上,与$y轴的交点为C$。若点$C$(非顶点)与点$B$重合,求抛物线的表达式。

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的性质以及一次函数与二次函数的交点。
首先，需要找到直线$y = x + 1$与$y$轴的交点$B$。将$x = 0$代入直线方程，得到$y = 1$，所以点$B$的坐标为$(0,1)$。
题目给出抛物线的顶点$D$在直线$AB$上，且抛物线与$y$轴的交点$C$与点$B$重合。因此，点$C$的坐标也是$(0,1)$。
由于抛物线的顶点式$y = \frac{1}{2}(x - m)^{2} + n$，知道顶点的$x$坐标为$m$，$y$坐标为$n$。又因为顶点在直线$AB$上，所以可以将顶点的坐标代入直线方程$y = x + 1$，得到$n = m + 1$。
再根据抛物线与$y$轴的交点$C(0,1)$，代入抛物线方程，得到$1 = \frac{1}{2}m^{2} + n$。
现在有一个方程组：
$\begin{cases}n = m + 1 \\ \frac{1}{2}m^{2} + n = 1\end{cases}$，
解这个方程组，可以得到$m$和$n$的值，从而得到抛物线的表达式。
【答案】：
解：
因为抛物线的顶点在直线$y = x + 1$上，设顶点$D$的坐标为$(m, m+1)$。
又因为抛物线过点$B(0,1)$，代入$y = \frac{1}{2}(x - m)^{2} + m + 1$，得到：
$1 = \frac{1}{2}(0 - m)^{2} + m + 1$，
$1 = \frac{1}{2}m^{2} + m + 1$，
$0 = \frac{1}{2}m^{2} + m$，
$0 = m(m + 2)$，
解得$m = 0$（舍去，因为此时顶点就是点$B$，与题意不符）或$m = -2$。
当$m = -2$时，$n = m + 1 = -1$。
因此，抛物线的表达式为$y = \frac{1}{2}(x + 2)^{2} - 1$，
即$y = \frac{1}{2}x^{2} + 2x + 1$。

14 如图,将抛物线$y = - \frac{4}{3}x^{2} + 4$平移后,新抛物线经过原抛物线的顶点$C$,新抛物线与$x轴正半轴交于点B$,联结$BC$,$\tan \angle CBO = 4$,设新抛物线与$x轴的另一交点是A$,新抛物线的顶点是$D$,求点$D$的坐标。

答案： 解：原抛物线$y=-\frac{4}{3}x^2 + 4$的顶点$C(0,4)$。
设新抛物线解析式为$y=-\frac{4}{3}(x + m)^2 + k$。
设点$B(b,0)$，$b＞0$。在$Rt\triangle COB$中，$\tan\angle CBO=\frac{OC}{OB}=\frac{4}{b}=4$，解得$b=1$，即$B(1,0)$。
新抛物线过点$C(0,4)$和$B(1,0)$，代入解析式得：
$\begin{cases}-\frac{4}{3}(0 + m)^2 + k = 4 \\-\frac{4}{3}(1 + m)^2 + k = 0\end{cases}$
解得$m=-\frac{1}{2}$，$k=\frac{13}{3}$。
新抛物线顶点$D\left(-m,k\right)$，即$D\left(\frac{1}{2},\frac{13}{3}\right)$。
答案：$D\left(\frac{1}{2},\frac{13}{3}\right)$