《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

9 如果正三角形、正方形、正六边形的周长都相等,它们的面积分别记为$S_{3}$、$S_{4}$、$S_{6}$,那么$S_{3}$、$S_{4}$、$S_{6}$由大到小排列顺序是$S_6＞S_4＞S_3$。

答案： $S_6＞S_4＞S_3$

10 如果正n边形的中心角为2α,边长为a,那么它的边心距为$\frac{a}{2}\cot\alpha$。(用锐角α的三角比表示)

答案： $\frac{a}{2}\cot\alpha$

11 已知正六边形的边长为2cm,求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积。

答案： $\pi\ \text{cm}^2$

12 求半径为R的圆的外切正三角形和内接正六边形的面积比。

答案： $2:1$

13 如图,四边形MNPQ是$\odot O$的内接正方形,$\triangle ABC是\odot O$的外切正三角形,$\triangle ABC$的边长为2,求四边形MNPQ的面积。

答案：
如图，设 BC 与$\odot O$的切点为 D，联结 OD、OB，则$OD\perp BC$，$BD=\frac{1}{2}BC=1$。在$Rt\triangle OBD$中，$\angle OBD=\frac{1}{2}\angle ABC=30^\circ$，所以$OB=2OD$，得$OD=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\odot O$的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}$。联结 MP，则有$MP=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，所以在$Rt\triangle MNP$中，$MN=NP=\frac{\sqrt{6}}{3}$，所以$S_{MNPQ}=\frac{2}{3}$。