《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

11 已知抛物线$y = a(x - 3)(x + 1)经过点(2,-6)$,求这个抛物线的表达式,并指出这个抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标。

答案： 把点(2，-6)代入抛物线y=a(x - 3)(x + 1)，可得a = 2，代回得函数解析式为y = 2(x - 3)(x + 1)=2x² - 4x - 6，因为y = 2x² - 4x - 6 = 2(x - 1)² - 8，抛物线开口向上，对称轴是直线x = 1，顶点坐标是(1，-8)

12 已知二次函数$y = \frac{1}{2}x^{2} + bx + c的图像经过点A(-3,6)$,并且与$x轴交于点B(-1,0)和点C$,顶点为$P$。
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设$D为线段OC$上的点,满足$\angle DPC = \angle BAC$,求点$D$的坐标。

答案：
(1)把点A(-3，6)、点B(-1，0)代入y = $\frac{1}{2}$x² + bx + c，得$\begin{cases} \frac{9}{2}-3b+c=6 \\ \frac{1}{2}-b+c=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} b=-1 \\ c=-\frac{3}{2} \end{cases}$，代回得二次函数解析式为y = $\frac{1}{2}$x² - x - $\frac{3}{2}$。
(2)易得P(1，-2)，C(3，0)，过点P作PE⊥x轴于点E，则PE = 2，CE = OC - OE = 2，所以∠PCO = 45°，同理可得∠ACO = 45°，所以∠PCD = ∠ACB，又∠DPC = ∠BAC，所以△DPC∽△BAC，所以$\frac{DC}{BC}$ = $\frac{PC}{AC}$，易求AC = 6√2，PC = 2√2，BC = 4，所以DC = $\frac{4}{3}$，所以OD = 3 - $\frac{4}{3}$ = $\frac{5}{3}$，所以D($\frac{5}{3}$，0)

13 在直角坐标系中,抛物线$y = x^{2} - 2mx + n + 1的顶点A在x$轴的负半轴上,与$y轴交于点B$,抛物线上一点$C的横坐标为1$,且$AC = 3\sqrt{10}$。
(1)求此抛物线的表达式；
(2)若抛物线上有一点$D$,使得直线$DB$经过第一、二、四象限,且原点$O到直线DB的距离为\frac{8}{5}\sqrt{5}$,求这时点$D$的坐标。

答案：

(1)根据题意，画出示意图，过点C作CE⊥x轴于点E。因为抛物线上一点C的横坐标为1，且AC = 3√10，所以C(1，n - 2m + 2)，其中n - 2m + 2＞0，OE = 1，CE = n - 2m + 2。因为抛物线的顶点A在x轴的负半轴上，所以A(m，0)،其中m＜0，OA = -m，AE = OE + OA = 1 - m。由已知得$\begin{cases} \Delta = 4m² -4(n + 1) = 0 \\ (1 - m)² + (n - 2m + 2)² = (3\sqrt{10})² \end{cases}$由①得n = m² - 1，代入②，得(m² - 2m + 1)² + (m² - 2m + 1) - 90 = 0，即有(m² - 2m + 11)(m² - 2m - 8) = 0。可解得m₁ = 4，m₂ = -2。因为m＜0，所以m = -2，从而n = 3。抛物线的表达式为y = x² + 4x + 4。
(2)因为直线DB经过第一、二、四象限，设直线DB交x轴的正半轴于点F，过点O作OM⊥DB于点M。因为点O到直线DB的距离为$\frac{8}{5}$√5，所以OM = $\frac{8}{5}$√5。因为抛物线y = x² + 4x + 4与y轴交于点B，所以B(0，4)，即有OB = 4，则BM = $\sqrt{OB² - OM²}$ = $\sqrt{4² - (\frac{8}{5}\sqrt{5})²}$ = $\frac{4}{5}$√5，因为OB⊥OF，OM⊥BF，所以△OBM∽△FOM，则$\frac{OB}{MB}$ = $\frac{FO}{MO}$，即有$\frac{4}{\frac{4}{5}\sqrt{5}}$ = $\frac{FO}{\frac{8}{5}\sqrt{5}}$，从而FO = 2BO = 8，故得F(8，0)。所以直线BF的表达式为y = -$\frac{1}{2}$x + 4。因为点D既在抛物线上，又在直线BF上，所以$\begin{cases} y = x² + 4x + 4 \\ y = -\frac{1}{2}x + 4 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x₁ = -\frac{9}{2} \\ y₁ = \frac{25}{4} \end{cases}$或$\begin{cases} x₂ = 0 \\ y₂ = 4 \end{cases}$，因为BD为直线，所以点D与点B不重合，即点D的坐标为(-$\frac{9}{2}$，$\frac{25}{4}$)