《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

14 如图,已知多边形ABDEC由三角形ABC和四边形BDEC组成,点A、D、E在同一个圆上。
(1) 若三角形ABC是等边三角形,四边形BDEC是正方形,$AB = 1$,求这个圆半径的长;
(2) 若(1)中的三角形ABC变成等腰三角形,四边形BDEC变成矩形,$AB = AC = BD = 1$,圆的半径是否改变? 为什么?

答案：

(1)如图，过点 A 作$AF\perp DE$于点 F。因为$\triangle ABC$为等边三角形，则 AF 平分 BC，因为四边形 BDEC 为正方形，所以 AF 也垂直平分 DE，所以过点 A、D、E 三点的圆的圆心 O 在 AF 上。联结 AD、OD，则$OA=OD$，所以$\angle OAD=\angle ODA$，又因为$BC=BD=BA$，所以$\angle BAD=\angle BDA$，而$AF// BD$，所以$\angle OAD=\angle BDA$，所以$\angle ODA=\angle BAD$，所以$AB// OD$，所以四边形 ABDO 为菱形，所以$AO=AB=1$，即$\odot O$的半径为 1。
(2)不变，证法同
(1)。