《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

14 已知二次函数$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)的图像经过点(3,5)$、$(2,8)$、$(0,8)$。
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)已知抛物线$y_{1} = a_{1}x^{2} + b_{1}x + c_{1}(a_{1} \neq 0)$,$y_{2} = a_{2}x^{2} + b_{2}x + c_{2}(a_{2} \neq 0)$,且满足$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} = k(k \neq 0,1)$,则我们称抛物线$y_{1}与y_{2}$互为“友好抛物线”,请写出当$k = -\frac{1}{2}$时第(1)小题中的抛物线的友好抛物线,并求出这友好抛物线的顶点坐标。

答案：
(1)把点(3，5)、(2，8)、(0，8)分别代入y = ax² + bx + c得$\begin{cases} 9a + 3b + c = 5 \\ 4a + 2b + c = 8 \\ c = 8 \end{cases}$，解得$\begin{cases} a = -1 \\ b = 2 \\ c = 8 \end{cases}$，代回得二次函数的解析式为y = -x² + 2x + 8。
(2)根据题意，得$\frac{-1}{a₂}$ = $\frac{2}{b₂}$ = $\frac{8}{c₂}$ = -$\frac{1}{2}$或$\frac{a₁}{-1}$ = $\frac{b₁}{2}$ = $\frac{c₁}{8}$ = -$\frac{1}{2}$，解得a₂ = 2，b₂ = -4，c₂ = -16，或a₁ = $\frac{1}{2}$，b₁ = -1，c₁ = -4，所以友好抛物线的解析式为y = 2x² - 4x - 16或y = $\frac{1}{2}$x² - x - 4，顶点坐标为(1，-18)或(1，-$\frac{9}{2}$)