《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

14 如图,已知$AB⊥BC,CD⊥BC$,垂足分别为点 B、C,且$AB\lt CD$,AC 与 BD 交于点 P。
(1) 如果$AB= 3,CD= 5$,以点 P 为圆心作圆,圆 P 与直线 BC 相切。
① 求圆 P 的半径长；
② 又$BC= 8$,以 BC 为直径作圆 O,试判断圆 O 与圆 P 的位置关系,并说明理由；
(2) 如果分别以 AB、CD 为直径的两圆外切,求证：$\triangle ABC与\triangle BCD$相似。

答案：
(1)①解：过点P作PE⊥BC于点E，设圆P半径为r，即PE=r。
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴AB//CD，∠ABC=∠DCB=90°。
∴△ABP∽△CDP，$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{PD}=\frac{3}{5}$。
∵PE⊥BC，CD⊥BC，
∴PE//CD，△BEP∽△BCD。
$\frac{PE}{CD}=\frac{BP}{BD}=\frac{3}{3+5}=\frac{3}{8}$，即$\frac{r}{5}=\frac{3}{8}$，解得$r=\frac{15}{8}$。
②解：圆O与圆P相交。理由如下：
∵BC=8，BC为直径，
∴圆O半径$R=4$，圆心O为BC中点，$BO=OC=4$。
由①知PE=$\frac{15}{8}$，△BEP∽△BCD，$\frac{BE}{BC}=\frac{BP}{BD}=\frac{3}{8}$，$BE=8×\frac{3}{8}=3$，$OE=BO - BE=4 - 3=1$。
在Rt△POE中，$PO=\sqrt{OE^2 + PE^2}=\sqrt{1^2 + (\frac{15}{8})^2}=\frac{17}{8}$。
$R + r=4 + \frac{15}{8}=\frac{47}{8}$，$|R - r|=|4 - \frac{15}{8}|=\frac{17}{8}$。
∵$\frac{17}{8} ＜ \frac{17}{8}$不成立，应为$|R - r|=\frac{17}{8}$，$PO=\frac{17}{8}$，此时$|R - r|=PO$，两圆内切。（注：此处原计算PE位置可能有误，若BE=3，OE=4-3=1，PE=15/8，PO=√(1²+(15/8)²)=17/8，R=4=32/8，r=15/8，R-r=17/8=PO，故应为内切，原答案“相交”可能为笔误，按规范计算应为内切）
(2)证明：设AB=2a，CD=2b，则两圆半径分别为a、b，圆心距为a + b。
设BC=x，由
(1)知$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{PD}=\frac{a}{b}$，$\frac{PE}{CD}=\frac{a}{a + b}$，$PE=\frac{ab}{a + b}$。
$\frac{BE}{BC}=\frac{a}{a + b}$，$BE=\frac{ax}{a + b}$，$EC=\frac{bx}{a + b}$。
两圆圆心分别在AB、CD中点，设为O₁、O₂，O₁B=a，O₂C=b，O₁E=BE=a，O₂E=EC=b，O₁O₂=√(x² + (b - a)²)=a + b。
平方得$x² + (b - a)²=(a + b)²$，$x²=4ab$，即$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{CD}$，又∠ABC=∠BCD=90°，
∴△ABC∽△BCD。
（注：
(1)②按严格计算应为内切，原“相交”可能为题目图形或计算步骤中BE位置偏差，修正后以计算为准）
最终答案：
(1)①$\frac{15}{8}$；②内切；
(2)证明见上。