《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

17 如图,在△ABC中,AD、BE是△ABC的角平分线,BE= CE,AB= 2,AC= 3。
(1)设$\vec{AB}= \vec{a}$,$\vec{BC}= \vec{b}$,求向量$\vec{BE}$(用向量$\vec{a}$、$\vec{b}$表示);
(2)将△ABC沿直线AD翻折后,点B与边AC上的点F重合,联结DF,求$S_{△CDF}:S_{△CEB}$的值。

答案： （1）
∵BE=CE，
∴∠C=∠EBC。
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠C。又∠BAE=∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{AC}$，即$\frac{AE}{2}=\frac{2}{3}$，得$AE=\frac{4}{3}$。
∵$\frac{AE}{AC}=\frac{4}{9}$，
∴$AE=\frac{4}{9}AC$。又$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{a}+\frac{4}{9}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=-\frac{5}{9}\overrightarrow{a}+\frac{4}{9}\overrightarrow{b}$。（2）由题意，可得∠AFD=∠ABC=2∠EBC，AF=AB=2。又∠AEB=∠EBC+∠C，∠C=∠ABE=∠EBC，
∴∠AEB=2∠EBC=∠AFD，
∴DF//BE。
∴△CDF∽△CBE，
∴$\frac{S_{\triangle CDF}}{S_{\triangle CBE}}=(\frac{CF}{CE})^{2}=(\frac{1}{\frac{5}{3}})^{2}=\frac{9}{25}$。

18 如图,BD、CE分别为△ABC的高,求证:$∠AED= ∠ACB$。

答案： 先证△ABD∽△ACE，可得AE∶AD=AC∶AB，加上∠A=∠A，可证△ADE∽△ABC，得∠AED=∠ACB。

19 如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,OD= 2OA,OC= 2OB。
(1)求证:△AOB∽△DOC;
(2)点E在线段OC上,若AB//DE,求证:$OD^{2}= OE·OC$。

答案： （1）略 （提示：由对应边成比例，对应角相等易证三角形相似。）（2）证明：
∵AB//DE，
∴△DOE∽△BOA，又由（1）知△AOB∽△DOC，
∴△DOE∽△COD，
∴$\frac{DO}{CO}=\frac{OE}{OD}$，即$OD^{2}=OE\cdot OC$。