《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

14 在平面直角坐标系$xOy$中,我们把以抛物线$y= x^{2}上的动点A$为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”。
如图,已知某条“子抛物线”的二次项系数为$\frac{3}{2}$,且与$y轴交于点C$。设点$A的横坐标为m(m＞0)$,过点$A作y轴的垂线交y轴于点B$。
(1) 当$m= 1$时,求这条“子抛物线”的表达式；
(2) 用含$m的代数式表示\angle ACB$的余切值。

答案：
(1) 由题意得,$A(m,m^{2})$,当$m=1$时,$A(1,1)$,所以这条“子抛物线”的解析式为$y=\frac{3}{2}(x-1)^{2}+1$。
(2) 由$A(m,m^{2})$,且$AB\perp y$轴,可得$AB=m$,$OB=m^{2}$。所以“子抛物线”的表达式为$y=\frac{3}{2}(x-m)^{2}+m^{2}$。令$x=0$,得$y=\frac{5}{2}m^{2}$,所以点$C(0,\frac{5}{2}m^{2})$,$OC=\frac{5}{2}m^{2}$,则$BC=\frac{3}{2}m^{2}$。在$\text{Rt}\triangle ABC$中,$\cot\angle ACB=\frac{BC}{AB}=\frac{\frac{3}{2}m^{2}}{m}=\frac{3}{2}m$。