《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

7 如图,在$\triangle ABC$中,$AC＞AB$,点D在BC上,且$BD= BA,∠ABC$的平分线BE交AD于点E,点F是AC的中点,联结EF。如果四边形DCFE和$\triangle BDE$的面积都为3,那么$\triangle ABC$的面积为10。

答案： 10

8 如图,将一副三角板按图叠放,则$\triangle AOB与\triangle DOC$的面积之比为1:3。

答案： 1:3

9 在$\triangle ABC$中,$AB= 12,AC= 10,BC= 9$,AD是边BC上的高。将$\triangle ABC$按如图所示的方式折叠,使点A与点D重合,折痕为EF,则$\triangle DEF$的周长为15.5。

答案： 15.5

10 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ },AC= 8,BC= 6$。在边AB上取一点O,使$BO= BC$,以点O为旋转中心,把$\triangle ABC逆时针旋转90^{\circ }$,得到$\triangle A'B'C'$(点A、B、C的对应点分别是点$A'$、$B'$、$C')$,那么$\triangle ABC与\triangle A'B'C'$的重叠部分的面积是$\frac{144}{25}$。

答案： $\frac{144}{25}$

11 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },CD⊥AB$于点D,
求证:$AC^{2}:BC^{2}= AD:BD$。

答案： $\because \angle ACB=90^{\circ }$，$CD\perp AB$于点D。$\therefore \angle ADC=\angle BDC=90^{\circ }$。$\because \angle ACD+\angle BCD=90^{\circ }$，$\angle B+\angle BCD=90^{\circ }$，$\therefore \angle ACD=\angle B$。$\therefore \triangle ACD\backsim \triangle CBD$。$\therefore \frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle CBD}}=\left(\frac{AC}{BC}\right)^{2}$。$\because \frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle CBD}}=\frac{\frac{1}{2}AD\cdot CD}{\frac{1}{2}BD\cdot CD}=\frac{AD}{BD}$，$\therefore AC^{2}:BC^{2}=AD:BD$。

12 如图,等边三角形ABC边长是7厘米,点D、E分别在AB和AC上,且$\frac {AD}{AE}= \frac {4}{3}$,将$\triangle ADE$沿DE翻折,使点A落在BC上的点F上。
(1) 求证:$\triangle BDF\backsim \triangle CFE;$
(2) 求BF的长。

答案： （1）$\because \triangle ABC$是等边三角形，$\therefore \angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ }$。又$\because \triangle ADE$沿DE翻折，使A落在BC上，$\therefore \triangle ADE≌\triangle FDE$，$\angle DFE=\angle A=60^{\circ }$。设$\angle DFB=\alpha$，则$\angle CFE=120^{\circ }-\alpha$。又$\because \angle C+\angle CFE+\angle CEF=180^{\circ }$，$\therefore \angle CEF=\alpha$。$\therefore \angle DFB=\angle CEF$。又$\because \angle B=\angle C=60^{\circ }$，$\therefore \triangle BDF\backsim \triangle CFE$。（2）$\because \triangle ADE≌\triangle FDE$，$\therefore DF=DA$，$EF=EA$。又$\because \frac{AD}{AE}=\frac{4}{3}$。设$AD=4k$，$AE=3k$，$\therefore DF=4k$，$EF=3k$。又$\because AB=7$，$\therefore DB=7 - 4k$，$CE=7 - 3k$。设$BF=x$厘米，则$CF=7 - x$（厘米）。$\because \triangle BDF\backsim \triangle CFE$，$\therefore \frac{\triangle BDF的周长}{\triangle CFE的周长}=\frac{DF}{FE}$。$\therefore \frac{(7 - 4k)+4k+x}{(7 - 3k)+3k+(7 - x)}=\frac{4}{3}$。解方程，得$x=5$。所以BF的长为5厘米。