《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

13 已知:如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,过点E作AC的垂线交边BC于点F,与AB的延长线相交于点M,且$AB\cdot AM= AE\cdot AC$。
求证:(1) 四边形ABCD是矩形;
(2)$DE^{2}= EF\cdot EM$。

答案： （1）
∵$AB·AM=AE·AC$，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AM}$。
∵∠CAB=∠MAE，
∴△ACB∽△AME。由于EM为AC的垂线，则∠AEM=90°，
∴∠ABC=∠AEM=90°，
∴□ABCD是矩形。（2）由
(1)可知，DE=EC，AE=EC，∠MEA=∠ABC=90°，
∵∠AME=∠ECF，
∴△CEF∽△MEA
∴$\frac{EC}{ME}=\frac{EF}{AE}$，
∴AE·EC=EF·EM，即$DE^2=EF·EM$。

14 如图,在$△ABC$中,$AD⊥BC$,E是AD边上一点,联结BE,过点D作$DF⊥BE$,垂足为点F,且$AE\cdot DF= EF\cdot CD$,联结AF、CF,CF与边AD交于点O。
求证:(1)$∠EAF= ∠DCF$;
(2)$AF\cdot BD= AC\cdot DF$。

答案： （1）
∵AD⊥BC，DF⊥BE，
∴∠ADB=∠DFE=90°，
∴∠DBE+∠BED=90°，∠DBE+∠BDF=90°，
∴∠BED=∠BDF。
∴∠AEF=∠CDF。
∵$AE·DF=CD·EF$，
∴$\frac{AE}{CD}=\frac{EF}{DF}$。
∴△AEF∽△CDF，
∴∠EAF=∠DCF。（2）
∵△AEF∽△CDF，
∴∠EFA=∠DFC，
∴∠AFO=∠EFD=90°。
∵∠DFB=90°，
∴∠BFD=∠AFC。
∵∠EAF=∠DCF，∠AOF=∠COD，
∴△AOF∽△COD。
∴$\frac{AO}{OC}=\frac{OF}{OD}$，
∴$\frac{AO}{OF}=\frac{OC}{OD}$。又
∵∠AOC=∠FOD，
∴△AOC∽△FOD，
∴∠ACF=∠EDF。
∵∠DBE+∠BED=∠FDE+∠BED=90°，
∴∠DBE=∠EDF，
∴∠ACF=∠DBE。又
∵∠BFD=∠AFC，
∴△BFD∽△CFA。
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{AF}{DF}$，
∴$AF·BD=AC·DF$。

15 已知:如图,在菱形ABCD中,$AC= 2,∠B= 60^{\circ }$。点E为BC边上的一个动点(与点B、C不重合),$∠EAF= 60^{\circ }$,AF与边CD相交于点F,联结EF交对角线AC于点G,设$CE= x,EG= y$。
(1) 求证:$△AEF$是等边三角形;
(2) 求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;
(3) 点O是线段AC的中点,联结EO,当$EG= EO$时,求x的值。

答案： （1）
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，
∴△ABC、△ACD都是等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACF=60°，
∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
∴△BAE≌△CAF（ASA），
∴AE=AF，又∠EAF=60°，
∴△AEF为等边三角形。（2）如图，过点E作EH⊥AC于点H，过点F作FM⊥AC于点M，
∵∠ECH=60°，
∴$CH=\frac{x}{2}$，$EH=\frac{\sqrt{3}}{2}x$，
∵∠FCM=60°，由
(1)知，CF=BE=2-x，
∴$CM=\frac{1}{2}(2-x)$，$FM=\frac{\sqrt{3}}{2}(2-x)$，
∴$HM=CH - CM=\frac{x}{2}-\frac{1}{2}(2-x)=x - 1$。
∵∠EHG=∠FMG=90°，∠EGH=∠FGM，
∴△EGH∽△FGM，
∴$\frac{GM}{HG}=\frac{FM}{EH}=\frac{2-x}{x}$，
∴$\frac{HM - HG}{HG}=\frac{2-x}{x}$，
∴$\frac{x - 1 - HG}{HG}=\frac{2-x}{x}$，
∴$HG=\frac{x(x - 1)}{2}$。在Rt△EHG中，$EG^2=EH^2+HG^2$，
∴$y^2=(\frac{\sqrt{3}}{2}x)^2+[\frac{x(x - 1)}{2}]^2$，
∴$y^2=\frac{x^4 - 2x^3 + 4x^2}{4}$，
∴$y=\frac{\sqrt{x^4 - 2x^3 + 4x^2}}{2}$（舍去负值），故y关于x的解析式为$y=\frac{\sqrt{x^4 - 2x^3 + 4x^2}}{2}(0＜x＜2)$。（3）如图，
∵O为AC的中点，
∴$CO=\frac{1}{2}AC=1$。
∵EO=EG，EH⊥OC，
∴OH=GH，∠EOG=∠EGO，
∴∠CGF=∠EOG。
∵∠ECG=60°，EC=x，
∴$CH=\frac{x}{2}$，
∴$OH=GH=OC - CH=1-\frac{x}{2}$，
∴$OG=2OH=2 - x$，
∴$CG=OC - OG=x - 1$。
∵∠CGF=∠EOC，∠ECO=∠GCF=60°，
∴△COE∽△CGF，
∴$\frac{CO}{CG}=\frac{CE}{CF}$，
∴$\frac{1}{x - 1}=\frac{x}{2 - x}$，整理得$x^2=2$，
∴$x=\sqrt{2}$（舍去负值），经检验x是原方程的解。故x的值为$\sqrt{2}$。