《2025年华东师大版一课一练九年级数学全一册沪教版54制》

7 已知$A(2,0)和B(0,4)$,在坐标轴上找到点$C(1,0)$和点D,使$△AOB与△DOC$相似,则点D的坐标是(0，±2)或$(0，±\frac{1}{2})$。

答案： (0，±2)或$(0，±\frac{1}{2})$

8 如图,在$△ABC$中,D是AC上的一点,$AB= AC= 4,BC= $$BD= 3$,则$AD= $$\frac{7}{4}$。

答案： $\frac{7}{4}$

9 定义:我们知道,四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形,如果这两个三角形相似但不全等,我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线。在四边形ABCD中,对角线BD是它的相似对角线,$∠ABC= 70^{\circ }$,BD平分$∠ABC$,那么$∠ADC= $145°。

答案： 145°

10 如图,在矩形ABCD中,$AD= 1,AB= k$。将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转$90^{\circ }得到矩形A'BC'D'$。联结AD',分别交边CD、$A'B$于点E、F。如果$AE= $$\sqrt {2}D'F$,那么$k= $$\sqrt{2}+1$。

答案： $\sqrt{2}+1$

11 如图,在$△ABC$中,D是边AC上的一点,$∠CBD$的平分线交AC于点E,$AE= $$AB$,求证:$AE^{2}= AD\cdot AC$。

答案：
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠EBA。
∵BE是∠CBD的角平分线，
∴∠CBE=∠EBD。
∵∠CBE+∠ECB=∠AEB，∠EBD+∠DBA=∠EBA，
∴∠DBA=∠ECB。又
∵∠BAC=∠BAD，
∴△ABD∽△ACB，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}$，即$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AE}$，
∴$AE^2=AD·AC$。

12 如图,M是平行四边形ABCD的对角线上的一点,射线AM与BC交于点F,与DC的延长线交于点H。
(1) 求证:$AM^{2}= MF\cdot MH$。
(2) 若$BC^{2}= BD\cdot DM$,求证:$∠AMB= ∠ADC$。

答案： （1）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴$\frac{AM}{MF}=\frac{DM}{MB}$，$\frac{DM}{MB}=\frac{MH}{AM}$，
∴$\frac{AM}{MF}=\frac{MH}{AM}$，即$AM^2=MF·MH$。（2）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，又
∵$BC^2=BD·DM$，
∴$AD^2=BD·DM$，即$\frac{AD}{DB}=\frac{DM}{AD}$，又
∵∠ADM=∠BDA，
∴△ADM∽△BDA，
∴∠AMD=∠BAD。
∵AB//CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵∠AMB+∠AMD=180°，
∴∠AMB=∠ADC。