《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

14. 若 $x^{a}= 2,x^{b}= 5,x^{c+2}= 10$,其中 a,b,c 为正整数,试用等式表示 a,b,c 之间的数量关系.

答案： $\because x^{a}=2$，$x^{b}=5$，$\therefore x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}=2×5=10$。
又$\because x^{c+2}=10$，$\therefore x^{a+b}=x^{c+2}$。
$\because x\neq0,1,-1$（由$x^{a}=2$知），$\therefore a+b=c+2$。
结论：$a+b=c+2$

已知 $5^{a}= 2^{b}= 10$,求 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 的值.

答案： 由$5^{a}=10$，两边同时取$\frac{1}{a}$次幂，得$5=10^{\frac{1}{a}}$；
由$2^{b}=10$，两边同时取$\frac{1}{b}$次幂，得$2=10^{\frac{1}{b}}$。
将两式相乘：$5×2=10^{\frac{1}{a}}×10^{\frac{1}{b}}$，
即$10=10^{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$。
因为底数相同的幂相等，则指数相等，所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$。
答案：$1$