《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

21. (本小题 10 分)如图,在△ABC 中,AB＞AC＞BC,P 为 BC 上一点(不与点 B,C 重合),在 AB 上找一点 M,在 AC 上找一点 N,使得△AMN 与△PMN 全等.以下是甲、乙两名同学的作法.
甲:连接 AP,作线段 AP 的垂直平分线,分别交 AB,AC 于 M,N 两点,则 M,N 两点即为所求;
乙:过点 P 作 PM//AC,交 AB 于点 M,过点 P 作 PN//AB,交 AC 于点 N,则 M,N 两点即为所求.
(1) 对于甲、乙两人的作法,下列判断中正确的是A;
A. 两人都正确
B. 甲正确,乙错误
C. 甲错误,乙正确
(2) 选择一种你认为正确的作法,补全图形并证明.

选甲的作法：
补全图形：连接$AP$，作线段$AP$的垂直平分线$MN$，分别交$AB$，$AC$于$M$，$N$两点。
证明：因为$MN$垂直平分$AP$，所以$AM = PM$，$AN = PN$。
在$Rt\triangle AMN$和$Rt\triangle PMN$中，$AM = PM$，$AN = PN$，$MN = MN$，所以$\triangle AMN\cong\triangle PMN(SSS)$。
选乙的作法：
补全图形：过点$P$作$PM// AC$，交$AB$于点$M$，过点$P$作$PN// AB$，交$AC$于点$N$。
证明：因为$PM// AC$，$PN// AB$，所以$\angle A = \angle MPN$，$\angle AMN = \angle MNP$。
又因为$AM// PN$，$AN// PM$，所以四边形$AMPN$是平行四边形，所以$AM = PN$，$AN = PM$。
在$\triangle AMN$和$\triangle PN M$中，$AM = PN$，$\angle A = \angle MPN$，$AN = PM$，所以$\triangle AMN\cong\triangle PN M(SAS)$。

答案：
(1) A
(2) 选甲的作法：
补全图形：连接$AP$，作线段$AP$的垂直平分线$MN$，分别交$AB$，$AC$于$M$，$N$两点。
证明：因为$MN$垂直平分$AP$，所以$AM = PM$，$AN = PN$。
在$Rt\triangle AMN$和$Rt\triangle PMN$中，$AM = PM$，$AN = PN$，$MN = MN$，所以$\triangle AMN\cong\triangle PMN(SSS)$。
选乙的作法：
补全图形：过点$P$作$PM// AC$，交$AB$于点$M$，过点$P$作$PN// AB$，交$AC$于点$N$。
证明：因为$PM// AC$，$PN// AB$，所以$\angle A = \angle MPN$，$\angle AMN = \angle MNP$。
又因为$AM// PN$，$AN// PM$，所以四边形$AMPN$是平行四边形，所以$AM = PN$，$AN = PM$。
在$\triangle AMN$和$\triangle PN M$中，$AM = PN$，$\angle A = \angle MPN$，$AN = PM$，所以$\triangle AMN\cong\triangle PN M(SAS)$。

22. (本小题 10 分)如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,点 D,E 分别在边 BC,AC 上,DE= DB,∠DEC= ∠B.求证:AD 平分∠BAC.

答案： 证明：
过点$D$作$DF\perp AB$于点$F$。
因为$\angle C = 90^{\circ}$，所以$DC\perp AC$。
又因为$DF\perp AB$，$DE = DB$，$\angle DEC=\angle B$，
在$\triangle DEC$和$\triangle DFB$中，
$\begin{cases}\angle DEC=\angle B\\\angle C=\angle DFB = 90^{\circ}\\DE = DB\end{cases}$
所以$\triangle DEC\cong\triangle DFB(AAS)$。
所以$DC = DF$。
因为$DC\perp AC$，$DF\perp AB$，$DC = DF$，
点$D$在$\angle BAC$的平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
所以$AD$平分$\angle BAC$。