《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

12. 先化简,再求值：$3a(a^{2}-2a+1)-2a^{2}(a-3)$,其中$a= -2$.

答案： $-14$

13. 某同学在计算一个多项式乘$-3x^{2}$时,算成了加上$-3x^{2}$,得到的答案是$x^{2}-\frac{1}{2}x+1$.求原题的正确计算结果.

答案： 设这个多项式为$A$。
因为该同学算成了加上$-3x^{2}$，得到答案$x^{2}-\frac{1}{2}x + 1$，所以$A + (-3x^{2})=x^{2}-\frac{1}{2}x + 1$，则$A=x^{2}-\frac{1}{2}x + 1 + 3x^{2}=4x^{2}-\frac{1}{2}x + 1$。
原题是求这个多项式乘$-3x^{2}$，即$A×(-3x^{2})=(4x^{2}-\frac{1}{2}x + 1)×(-3x^{2})$
$\begin{aligned}&=4x^{2}×(-3x^{2})+(-\frac{1}{2}x)×(-3x^{2})+1×(-3x^{2})\\&=-12x^{4}+\frac{3}{2}x^{3}-3x^{2}\end{aligned}$
正确计算结果为$-12x^{4}+\frac{3}{2}x^{3}-3x^{2}$。

某校开展了火箭模型制作比赛.如图是火箭模型的截面,下部为等腰梯形,中部是长方形,上部是三角形.
(1)请用含$a$,$b的式子表示这个截面的面积S$；
(2)当$a= 2\ cm$,$b= 3\ cm$时,求这个截面的面积.

答案：
(1) S = S三角形 + S长方形 + S梯形
S三角形 = $\frac{1}{2} × a × b = \frac{ab}{2}$
S长方形 = $a × (a + b) = a^2 + ab$
S梯形 = $\frac{1}{2} × (a + (a + b)) × b = \frac{(2a + b)b}{2} = ab + \frac{b^2}{2}$
S = $\frac{ab}{2} + (a^2 + ab) + (ab + \frac{b^2}{2}) = a^2 + \frac{5ab}{2} + \frac{b^2}{2} = \frac{2a^2 + 5ab + b^2}{2}$
(2) 当$a = 2\ cm$，$b = 3\ cm$时，
S = $\frac{2 × 2^2 + 5 × 2 × 3 + 3^2}{2} = \frac{8 + 30 + 9}{2} = \frac{47}{2}\ cm^2$
答案：
(1) $\frac{2a^2 + 5ab + b^2}{2}$；
(2) $\frac{47}{2}\ cm^2$