《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

14. 有一个分式,三名同学分别说出了它的一些特点.甲说:分式的值不可能为0.乙说:分式有意义时,x的取值范围是$x\neq\pm1$.丙说:当$x= -2$时,分式的值为1.请你写出一个满足上述全部特点的分式.

答案： 答题卡：
14.
首先，根据甲的说法，分式的值不可能为0，这意味着分子不能为0（除非分母同时为0，但这种情况会使分式无意义，所以不考虑）。
其次，乙说分式有意义时，$x$的取值范围是$x\neq\pm1$，这意味着分母在$x=\pm1$时为0。因此，分母可以设为$(x - 1)(x + 1)$。
最后，丙说当$x = -2$时，分式的值为1。设分式为$\frac{A}{(x - 1)(x + 1)}$，其中A是一个常数且$A \neq 0$（因为分式的值不可能为0）。
将$x = -2$代入分式，得到：
$\frac{A}{(-2 - 1)(-2 + 1)} = 1$
即：
$\frac{A}{(-3)(-1)} = 1$
$\frac{A}{3} = 1$
解得：$A = 3$
因此，满足上述全部特点的分式为：$\frac{3}{(x - 1)(x + 1)}$（答案不唯一，只要分子是非零常数，分母是$(x - 1)(x + 1)$的倍数即可，但最简形式是此分式）。

已知$x^2+3x-1= 0$,求$x-\frac{1}{x}和x^2+\frac{1}{x^2}$的值.

答案： 由$x^2 + 3x - 1 = 0$，知$x \neq 0$，方程两边同除以$x$得：$x + 3 - \frac{1}{x} = 0$，移项得$x - \frac{1}{x} = -3$。
因为$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x - \frac{1}{x})^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$，将$x - \frac{1}{x} = -3$代入，得$(-3)^2 + 2 × 1 = 9 + 2 = 11$。
$x - \frac{1}{x} = -3$，$x^2 + \frac{1}{x^2} = 11$。