《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

6. 在Rt△ABC中,∠B= 90°,∠A= 30°,CD平分∠ACB,交AB于点D.若BD= 2 cm,则AB的长为6cm.

答案： 6

7. 如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,点D,E分别在边AB,BC上,将△BDE沿DE折叠,点B刚好落在边AC上的点B'处,∠CB'E= 30°,CE= 3,则BC的长为______9.

答案： 9

8. 如图,在△ABC中,AB= BC,∠ABC= 120°,过点B作BD⊥BC,交AC于点D.若AD= 2,则AC的长为______.

答案：

（1）作图痕迹：以点$B$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$BA$、$BC$于两点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧相交于一点，过点$B$和这个交点作射线，交$AC$于点$D$。
（2）证明:∵∠A= 30°,∠C= 90°,
∴∠ABC= 60°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD= ∠CBD= $\frac{1}{2}$∠ABC= 30°.
∴∠ABD= ∠A,
∴AD= BD.
在Rt△BCD中,∠CBD= 30°,
∴CD= $\frac{1}{2}$BD(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).(填推理依据)
∴CD= $\frac{1}{2}$AD.

答案： （1）作图痕迹：以点$B$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$BA$、$BC$于两点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧相交于一点，过点$B$和这个交点作射线，交$AC$于点$D$。
（2）证明：
∵$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle C = 90^{\circ}$，
∴$\angle ABC = 60^{\circ}$。
∵$BD$平分$\angle ABC$，
∴$\angle ABD = \angle CBD = \frac{1}{2}\angle ABC = 30^{\circ}$。
∴$\angle ABD = \angle A$，
∴$AD = BD$。
在$Rt\triangle BCD$中，$\angle CBD = 30^{\circ}$，
∴$CD = \frac{1}{2}BD$（在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半）。
∴$CD = \frac{1}{2}AD$。
故答案为：$60^{\circ}$；$BD$；在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半。