《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

22. (本小题8分)在△ABC中,AB＞AC,D为射线BA上一点(不与点B,A重合),∠ADC= ∠ACD,设∠ACB= α,∠ABC= β.
(1)如图①,点D在边AB上.
① 若α= 90°,β= 36°,则∠BCD的度数是27°;
② 试用含α,β的式子表示∠BCD,并说明理由.
∠BCD=(α-β)/2。理由如下：设∠BCD=x，则∠ACD=α-x。∵∠ADC=∠ACD，∴∠ADC=α-x。在△ABC中，∠BAC=180°-α-β。在△ADC中，∠DAC=∠BAC=180°-α-β，由内角和定理得：(180°-α-β)+(α-x)+(α-x)=180°，化简得：α-β-2x=0，解得x=(α-β)/2，即∠BCD=(α-β)/2。
(2)如图②,点D在BA的延长线上,根据已知条件补全图形,并直接写出用α,β表示∠BCD的式子.
∠BCD=(180°+α-β)/2

答案：
(1)①27°
②∠BCD=(α-β)/2。理由如下：
设∠BCD=x，则∠ACD=α-x。
∵∠ADC=∠ACD，
∴∠ADC=α-x。
在△ABC中，∠BAC=180°-α-β。
在△ADC中，∠DAC=∠BAC=180°-α-β，
由内角和定理得：(180°-α-β)+(α-x)+(α-x)=180°，
化简得：α-β-2x=0，解得x=(α-β)/2，即∠BCD=(α-β)/2。
(2)补全图形（略），∠BCD=(180°+α-β)/2。

23. (本小题8分)如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,D为边AC上一点,DE⊥AB于点E,BF为△ABC的角平分线.
(1)若∠ABC= α,则∠ADE= α;(用含α的式子表示)
(2)探究∠AFB与∠ADE之间的数量关系.
因为BF平分∠ABC，所以∠ABF=1/2∠ABC=α/2。在△ABF中，∠AFB=180°-∠A-∠ABF=180°-(90°-α)-α/2=90°+α/2。由(1)知∠ADE=α，2∠AFB=180°+α，所以2∠AFB-∠ADE=180°。

答案：
(1) 在$Rt△ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\angle ABC = \alpha$，所以$\angle A=90^\circ-\angle ABC = 90^\circ-\alpha$。
因为$DE\perp AB$，在$Rt△ADE$中，$\angle ADE = 90^\circ-\angle A=90^\circ-(90^\circ - \alpha)=\alpha$。
(2) 因为$BF$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABF=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{\alpha}{2}$。
在$△ABF$中，$\angle AFB = 180^\circ-\angle A - \angle ABF=180^\circ-(90^\circ-\alpha)-\frac{\alpha}{2}=90^\circ+\frac{\alpha}{2}$。
由
(1)知$\angle ADE=\alpha$，$2\angle AFB=180^\circ+\alpha$，所以$2\angle AFB-\angle ADE = 180^\circ$。