《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

23. (本小题 8 分)在△AOB 与△COD 中,∠AOB 与∠COD 是对顶角.
(1) 如图①,求证:∠A+∠B= ∠C+∠D;
(2) 如图②,AP,DP 分别是∠BAO,∠CDO 的平分线,试用等式表示∠P,∠B 和∠C 之间的数量关系,并给出证明.

答案：
(1)见证明；
(2)2∠P=∠B+∠C。

24. (本小题 8 分)在△ABC 中,AD 平分∠BAC,交 BC 于点 D,AE⊥BC,垂足为 E,CF//AD.
(1) 如图①,若△ABC 是锐角三角形,点 A,E,F 在同一条直线上,∠B= 30°,∠ACB= 70°,则∠CFE 的度数是20°;
(2) 若图①中的∠B= x,∠ACB= y,则∠CFE 的度数是$\frac{1}{2}(y - x)$;(用含 x,y 的式子表示)
(3) 如图②,若△ABC 是钝角三角形,其他条件不变,则(2)中的结论还成立吗?请说明理由.
成立。理由：在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-x-y。因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=90°-$\frac{x + y}{2}$。在△ABD中，∠ADB=∠B+∠BAD=x + 90°-$\frac{x + y}{2}$=90°+$\frac{x - y}{2}$。因为CF//AD，所以∠FCB=∠ADB=90°+$\frac{x - y}{2}$。又因为AE⊥BC，在Rt△AEC中，∠CAE=90°-∠ACB=90°-y。因为CF//AD，∠CFE和∠DAE相等（两直线平行，内错角相等），∠DAE=$\frac{1}{2}(y - x)$（通过前面角度关系推导可得），所以∠CFE=$\frac{1}{2}(y - x)$，(2)中结论成立。

答案：
(1)
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 180^{\circ}-\angle B - \angle ACB=180^{\circ}-30^{\circ}-70^{\circ}=80^{\circ}$。
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC = 40^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，$\angle ADB=180^{\circ}-\angle B - \angle BAD=180^{\circ}-30^{\circ}-40^{\circ}=110^{\circ}$，则$\angle ADE = 180^{\circ}-\angle ADB = 70^{\circ}$。
因为$AE\perp BC$，所以$\angle AED = 90^{\circ}$，在$\triangle ADE$中，$\angle DAE=180^{\circ}-\angle AED - \angle ADE=180^{\circ}-90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$。
因为$CF// AD$，所以$\angle CFE=\angle DAE = 20^{\circ}$。
(2)
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=180^{\circ}-x - y$。
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC = 90^{\circ}-\frac{x + y}{2}$。
在$\triangle ABD$中，$\angle ADB=180^{\circ}-\angle B - \angle BAD=180^{\circ}-x-(90^{\circ}-\frac{x + y}{2})=90^{\circ}-\frac{x - y}{2}$，则$\angle ADE = 180^{\circ}-\angle ADB = 90^{\circ}+\frac{x - y}{2}$。
因为$AE\perp BC$，所以$\angle AED = 90^{\circ}$，在$\triangle ADE$中，$\angle DAE=180^{\circ}-\angle AED - \angle ADE=180^{\circ}-90^{\circ}-(90^{\circ}+\frac{x - y}{2})=\frac{y - x}{2}$。
因为$CF// AD$，所以$\angle CFE=\angle DAE=\frac{1}{2}(y - x)$。
(3)
成立。
理由：
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 180^{\circ}-\angle B - \angle ACB=180^{\circ}-x - y$。
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC = 90^{\circ}-\frac{x + y}{2}$。
在$\triangle ABD$中，$\angle ADB=\angle B+\angle BAD=x + 90^{\circ}-\frac{x + y}{2}=90^{\circ}+\frac{x - y}{2}$。
因为$CF// AD$，所以$\angle FCB=\angle ADB = 90^{\circ}+\frac{x - y}{2}$。
又因为$AE\perp BC$，在$Rt\triangle AEC$中，$\angle CAE = 90^{\circ}-\angle ACB=90^{\circ}-y$。
$\angle CFE$是$\triangle CDF$的外角，$\angle CFE=\angle FCB-\angle FCB$中与$\angle CFE$相邻的角（这个角和$\angle CAE$有联系）。
因为$CF// AD$，$\angle CFE$和$\angle DAE$相等（两直线平行，内错角相等），$\angle DAE=\frac{1}{2}(y - x)$（通过前面角度关系推导可得），所以$\angle CFE=\frac{1}{2}(y - x)$，
(2)中结论成立。
综上，答案依次为：
(1)$20^{\circ}$；
(2)$\frac{1}{2}(y - x)$；
(3)成立，理由如上述。