《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

14. 【定义】若一个三角形的三边长均为偶数,则称这个三角形为"好运三角形".例如,三边长分别为6,8,10的三角形是"好运三角形".
【概念运用】在$\triangle ABC$中,$AB= 2$,$BC= 4$,若$\triangle ABC$为"好运三角形",求AC的长.
【变式运用】已知$\triangle ABC$的周长为16,$AC= 4$,若AB的长为偶数,探究$\triangle ABC$是否为"好运三角形",说明理由.

答案： 【概念运用】
设AC的长为x。
根据三角形三边关系：
$BC - AB ＜ AC ＜ AB + BC$，即$4 - 2 ＜ x ＜ 2 + 4$，得$2 ＜ x ＜ 6$。
∵△ABC为“好运三角形”，三边长均为偶数，AB=2（偶数），BC=4（偶数），
∴x为偶数，在$2 ＜ x ＜ 6$范围内，x=4。
故AC的长为4。
【变式运用】
设AB的长为x，
∵△ABC周长为16，AC=4，
∴BC=16 - 4 - x=12 - x。
根据三角形三边关系：
$AB + AC ＞ BC$，即$x + 4 ＞ 12 - x$，解得$x ＞ 4$；
$BC + AC ＞ AB$，即$(12 - x) + 4 ＞ x$，解得$x ＜ 8$；
∴$4 ＜ x ＜ 8$。
∵AB的长为偶数，
∴x=6。
则BC=12 - 6=6。
此时三边长为AB=6，BC=6，AC=4，均为偶数，
故△ABC是“好运三角形”。

用一根长44 cm的细绳围成一个三角形(细绳无剩余),已知围成的三角形第一条边的长为x cm,第二条边的长比第一条边长的3倍少6 cm.
(1) 用含x的式子表示第三条边的长；
(2) 若围成的三角形是等腰三角形,求该等腰三角形三条边的长；
(3) 若第一条边最短,直接写出x的取值范围.

答案：
(1) 第二条边长为$(3x - 6)\ cm$，第三条边长为$44 - x - (3x - 6) = (50 - 4x)\ cm$。
(2) 分三种情况：
① 若$x = 3x - 6$，解得$x = 3$，三边长为$3, 3, 38$，$3 + 3 = 6 ＜ 38$，舍去；
② 若$x = 50 - 4x$，解得$x = 10$，三边长为$10, 24, 10$，$10 + 10 = 20 ＜ 24$，舍去；
③ 若$3x - 6 = 50 - 4x$，解得$x = 8$，三边长为$8, 18, 18$，$8 + 18 ＞ 18$，$18 + 18 ＞ 8$，符合题意。
故三条边长为$8\ cm, 18\ cm, 18\ cm$。
(3) $7 ＜ x ＜ \dfrac{28}{3}$。