《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

22. (本小题10分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A,B关于y轴对称.
(1)如图①,若AB= 4,∠AOB= 90°,则点A的坐标为______(2,2);
(2)如图②,若点A(5,0),C(-2,0),且D为y轴正半轴上一点,CD= 7,连接BD,点E在DC的延长线上,且CE= 3,连接AE.求证:AD= AE.

证明：
∵A(5,0)，A,B关于y轴对称，∴B(-5,0)。
∵C(-2,0)，D在y轴正半轴，设D(0,d)，d＞0。
CD=7，∴√[(-2-0)²+(0-d)²]=7，即√(4+d²)=7，解得d=3√5，∴D(0,3√5)。
直线DC：过D(0,3√5)，C(-2,0)，斜率k=(3√5-0)/(0+2)=3√5/2，方程为y=(3√5/2)x+3√5。
E在DC延长线上，CE=3。设E(x,y)，向量DC=(-2,-3√5)，单位向量=(-2/7,-3√5/7)。
E=C+3×单位向量=(-2,0)+3×(-2/7,-3√5/7)=(-20/7,-9√5/7)。
AD=√[(5-0)²+(0-3√5)²]=√(25+45)=√70。
AE=√[(5+20/7)²+(0+9√5/7)²]=√[(55/7)²+(9√5/7)²]=√[(3025+405)/49]=√(3430/49)=√70。
∴AD=AE。

答案：
(1) (2,2)
(2) 证明：
∵A(5,0)，A,B关于y轴对称，
∴B(-5,0)。
∵C(-2,0)，D在y轴正半轴，设D(0,d)，d＞0。
CD=7，
∴√[(-2-0)²+(0-d)²]=7，即√(4+d²)=7，解得d=3√5，
∴D(0,3√5)。
直线DC：过D(0,3√5)，C(-2,0)，斜率k=(3√5-0)/(0+2)=3√5/2，方程为y=(3√5/2)x+3√5。
E在DC延长线上，CE=3。设E(x,y)，向量DC=(-2,-3√5)，单位向量=(-2/7,-3√5/7)。
E=C+3×单位向量=(-2,0)+3×(-2/7,-3√5/7)=(-20/7,-9√5/7)。
AD=√[(5-0)²+(0-3√5)²]=√(25+45)=√70。
AE=√[(5+20/7)²+(0+9√5/7)²]=√[(55/7)²+(9√5/7)²]=√[(3025+405)/49]=√(3430/49)=√70。
∴AD=AE。

23. (本小题10分)如图,在△ABC中,AB= AC,∠BAC= 90°,D是边BC上的动点,连接AD,点C关于直线AD的对称点为E,射线BE与射线AD交于点F,连接CF.
(1)在备用图中,依题意补全图形;
(2)记∠DAC= α(α＜45°),求∠ABF的度数;(用含α的式子表示)
(3)若△ACE是等边三角形,猜想EF和BC的数量关系,并给出证明.

答案：
(2) 45° + α；
(3) EF=BC/2．