《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

11. 如图,已知△ABC 是钝角三角形.
(1) 画出△ABC 的中线 AD,角平分线 CE 和高 AM,CN;
(2) 在(1)的条件下,若 CN= 3,AM= 6,AB= 10,求 BD 的长.

答案： （1）
画出图形：
中线 $AD$：连接顶点 $A$ 和边 $BC$ 的中点 $D$。
角平分线 $CE$：从顶点 $C$ 出发，将角 $C$ 平分，交对边 $AB$ 于点 $E$。
高 $AM$ 和 $CN$：从顶点 $A$ 向边 $BC$ 作垂线，垂足为 $M$；从顶点 $C$ 向边 $AB$ 作垂线，垂足为 $N$。
（2）
因为 $AD$ 是 $BC$ 边上的中线，所以 $BD = DC$。
因为 $AM$ 是 $\triangle ABC$ 的边 $BC$ 上的高，$CN$ 是 $\triangle ABC$ 的边 $AB$ 上的高，
所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2} × AM × BC=\frac{1}{2} × CN × AB$，
因为 $CN= 3,AM= 6,AB= 10$，
所以$BC=\frac{CN× AB}{AM}=\frac{3× 10}{6}=5$，
所以 $BD=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$。
综上，$BD$ 的长为 $\frac{5}{2}$。

12. 在等腰三角形 ABC 中,AB= AC,一腰上的中线 BD 将这个三角形的周长分成 15 cm 和 6 cm 两部分,求等腰三角形 ABC 的三边长.

答案： 设等腰三角形的腰长为 $x \, cm$，底边长为 $y \, cm$。
根据等腰三角形的性质，有 $AB = AC = x \, cm$。
一腰上的中线 $BD$ 将三角形分为两部分，其周长分别为 $15 \, cm$ 和 $6 \, cm$。
根据中线的性质，中线将一边分为两段相等的部分，因此 $AD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}x \, cm$。
考虑第一种情况：
$AB + AD = 15$
$ \Rightarrow x + \frac{1}{2}x = 15$
$ \Rightarrow \frac{3}{2}x = 15$
$ \Rightarrow x = 10$
此时，$BC + CD = 6$
$ \Rightarrow y + \frac{1}{2} × 10 = 6$
$ \Rightarrow y = 1$
考虑三角形的三边关系 $10 + 1 ＞ 10$，$10 + 10 ＞ 1$，$1 + 10 ＞ 10$，满足三角形的性质。
考虑第二种情况：
$AB + AD = 6$
$ \Rightarrow x + \frac{1}{2}x = 6$
$ \Rightarrow \frac{3}{2}x = 6$
$ \Rightarrow x = 4$
此时，$BC + CD = 15$
$ \Rightarrow y + \frac{1}{2} × 4 = 15$
$ \Rightarrow y = 13$
考虑三角形的三边关系 $4 + 4 ＜ 13$，不满足三角形的性质，因此这种情况应舍去。
综上所述，等腰三角形 $ABC$ 的三边长为 $10 \, cm$，$10 \, cm$，$1 \, cm$。

如图,在直角三角形 ABC 中,$\angle ABC= 90^{\circ}$,点 D 沿 BC 自点 B 向点 C 运动(点 D 与点 B,C 不重合),作 BE⊥AD 于点 E,CF⊥AD 交 AD 的延长线于点 F.在点 D 运动的过程中,试判断 BE+CF 的值是否发生改变,并说明理由.

答案： BE+CF的值会发生改变。理由如下：
设$AB = c$，$BC = a$，则$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}ac$（定值）。
点$D$在$BC$上运动，$AD$为动线段。
$\because BE \perp AD$，$CF \perp AD$（或其延长线），
$\therefore \triangle ABD$的面积$S_1 = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BE$，
$\triangle ACD$的面积$S_2 = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CF$。
又$S_1 + S_2 = S_{\triangle ABC}$，
$\therefore \frac{1}{2}AD(BE + CF) = \frac{1}{2}ac$，
$\therefore BE + CF = \frac{ac}{AD}$。
$\because AD$的长度随点$D$的运动而变化（$D$从$B$向$C$运动时，$AD$从$AB$增大到$AC$），
$\therefore BE + CF$的值随$AD$的变化而变化。
结论：BE+CF的值发生改变。