《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

13. 如图,$\triangle ABF\cong \triangle CDE$,$\angle B和\angle D$是对应角,AF 和 CE 是对应边.
(1)写出$\triangle ABF和\triangle CDE$的其他对应角和对应边;
(2)连接AE,CF,若$\angle B= 30^{\circ }$,$\angle DCF= 40^{\circ }$,求$\angle EFC$的度数;
(3)若$BD= 10$,$EF= 2$,求BF的长.

答案：
(1)对应角：∠A与∠C，∠AFB与∠CED；对应边：AB与CD，BF与DE。
(2)
∵△ABF≌△CDE，
∴∠D=∠B=30°，∠AFB=∠CED，∠A=∠ECD。设∠AFB=∠CED=β，在△ABF中，∠A=180°-∠B-∠AFB=180°-30°-β=150°-β，
∴∠ECD=∠A=150°-β。
∵∠ECD=∠ECF+∠DCF，∠DCF=40°，
∴∠ECF=∠ECD-∠DCF=150°-β-40°=110°-β。在△EFC中，∠EFC=180°-∠FEC-∠ECF=180°-β-(110°-β)=70°。
(3)
∵△ABF≌△CDE，
∴BF=DE。设BF=DE=x，由图形知BD=BF+DE-EF，即10=x+x-2，解得x=6，
∴BF=6。
答案：
(1)对应角：∠A与∠C，∠AFB与∠CED；对应边：AB与CD，BF与DE；
(2)70°；
(3)6。

14. 如图,$\triangle ABC\cong \triangle DBE$,点D在边AC上,BC与DE交于点P.若$\angle ABE= 162^{\circ }$,$\angle DBC= 30^{\circ }$,求$\angle CDE$的度数.

答案：
∵△ABC≌△DBE，
∴∠ABC=∠DBE，∠C=∠E，AB=DB。
设∠ABC=∠DBE=x，
∵∠ABE=162°，∠DBC=30°，∠ABE=∠ABC+∠CBE，∠DBE=∠DBC+∠CBE，
∴∠CBE=∠DBE-∠DBC=x-30°，则∠ABE=∠ABC+∠CBE=x+(x-30°)=2x-30°=162°，解得x=96°，即∠ABC=∠DBE=96°。
∵AB=DB，
∴△ABD为等腰三角形，∠A=∠ADB。∠ABD=∠ABC-∠DBC=96°-30°=66°，
∴∠A=∠ADB=(180°-66°)/2=57°。
在△ABC中，∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-57°-96°=27°，
∴∠E=∠C=27°。
在△DBE中，∠BDE=180°-∠DBE-∠E=180°-96°-27°=57°。
∵点D在AC上，
∴∠ADB+∠BDC=180°，∠BDC=180°-∠ADB=180°-57°=123°。
∠CDE=∠BDC-∠BDE=123°-57°=66°。
答案：66°