《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

20. (本小题 8 分)如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC.从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,使得 EF⊥AD 成立,并证明.
条件①:DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F;
条件②:DE= DF.

答案： 选择条件①.
证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°.
在△AED和△AFD中，
∠EAD=∠FAD，
∠AED=∠AFD，
AD=AD，
∴△AED≌△AFD(AAS).
∴AE=AF.
∴△AEF是等腰三角形.
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥EF(等腰三角形三线合一).
即EF⊥AD.

21. (本小题 10 分)如图,∠ACB= ∠DCE= 90°,AC= BC,DC= EC,点 B 在线段 AD 上.
(1) 求证:△ACD≌△BCE;
(2) BE 与 AD 有何位置关系?请说明理由.

答案：
(1) 证明：
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE。
在△ACD和△BCE中，
AC=BC，
∠ACD=∠BCE，
DC=EC，
∴△ACD≌△BCE(SAS)。
(2) BE⊥AD。理由如下：
∵△ACD≌△BCE，
∴∠A=∠CBE。
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABC=90°，即∠ABE=90°，
∴BE⊥AD。