《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

(1)如图①,当点D在线段CB上,∠BAC= 90°时,∠DCE的度数是90°；
(2)设∠BAC= α,∠DCE= β.
①如图②,当点D在线段CB上,∠BAC≠90°时,请探究α与β之间的数量关系,并证明你的结论；
②如图③,当点D在线段CB的延长线上,∠BAC≠90°时,请将图③补充完整,并直接写出此时α与β之间的数量关系.(不需证明)
① $\alpha+\beta = 180^{\circ}$
证明：
因为$\angle BAC=\angle DAE$，所以$\angle BAC - \angle DAC=\angle DAE - \angle DAC$，即$\angle BAD=\angle CAE$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，$AB = AC$，$\angle BAD=\angle CAE$，$AD = AE$，所以$\triangle ABD\cong\triangle ACE(SAS)$。
则$\angle B=\angle ACE$。
在$\triangle ABC$中，$\angle B+\angle ACB=\ 180^{\circ}-\angle BAC = 180^{\circ}-\alpha$。
所以$\angle ACE+\angle ACB=\beta=180^{\circ}-\alpha$，即$\alpha+\beta = 180^{\circ}$。
② $\alpha=\beta$

答案：
(1) 90°
(2)
① $\alpha+\beta = 180^{\circ}$
证明：
因为$\angle BAC=\angle DAE$，所以$\angle BAC - \angle DAC=\angle DAE - \angle DAC$，即$\angle BAD=\angle CAE$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，$AB = AC$，$\angle BAD=\angle CAE$，$AD = AE$，所以$\triangle ABD\cong\triangle ACE(SAS)$。
则$\angle B=\angle ACE$。
在$\triangle ABC$中，$\angle B+\angle ACB=\ 180^{\circ}-\angle BAC = 180^{\circ}-\alpha$。
所以$\angle ACE+\angle ACB=\beta=180^{\circ}-\alpha$，即$\alpha+\beta = 180^{\circ}$。
② $\alpha=\beta$