《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

14. 先化简,再求值:$[(2x-y)(2x+y)+y(y-6x)]÷2x$,其中$x= -3$,$y= 3$.

答案： $-15$

(1) 若$ax^{3}+2x^{2}-4x+5能被x-2$整除,则a的值为$-\frac{5}{8}$;
(2) 若$ax^{3}+2x^{2}-4x+5除以x+2$的余式为3,则a的值为$\frac{9}{4}$;
(3) 若$ax^{3}+bx^{2}-4x+5除以x-2$的余式为1,$ax^{3}+bx^{2}-4x+5除以x+3$的余式为-1,则$a-b$的值为$\frac{4}{5}$.

答案：
(1) 因为$ax^{3}+2x^{2}-4x+5$能被$x-2$整除，所以当$x-2=0$，即$x=2$时，多项式的值为$0$。
代入$x=2$得：
$8a+8-8+5=0$
$8a=-5$
$a=-\frac{5}{8}$
所以，$a$的值为$-\frac{5}{8}$。
(2) 因为$ax^{3}+2x^{2}-4x+5$除以$x+2$的余式为$3$，所以当$x+2=0$，即$x=-2$时，多项式的值为$3$。
代入$x=-2$得：
$-8a+8+8+5=3$
$-8a=-18$
$a=\frac{9}{4}$
所以，$a$的值为$\frac{9}{4}$。
(3)因为$ax^{3}+bx^{2}-4x+5$除以$x-2$的余式为$1$，所以当$x-2=0$，即$x=2$时，多项式的值为$1$。
代入$x=2$得：
$8a+4b-8+5=1$
$8a+4b=4$
$2a+b=1\quad(方程①)$
因为$ax^{3}+bx^{2}-4x+5$除以$x+3$的余式为$-1$，所以当$x+3=0$，即$x=-3$时，多项式的值为$-1$。
代入$x=-3$得：
$-27a+9b+12+5=-1$
$-27a+9b=-18$
$-3a+b=-2\quad(方程②)$
接下来我们解这个二元一次方程组：
①-②，得：
$5a=3$
$a=\frac{3}{5}$
将$a=\frac{3}{5}$代入方程①，得：
$2×\frac{3}{5}+b=1$
$\frac{6}{5}+b=1$
$b=-\frac{1}{5}$
所以，$a-b=\frac{3}{5}-(-\frac{1}{5})=\frac{4}{5}$。
故$a-b$的值为$\frac{4}{5}$。