《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

11. 在解分式方程$\frac{2-x}{x-3}= \frac{1}{3-x}-2$时,小玉的解法如下:
解:方程两边都乘$x-3$,得$2-x= -1-2$. ①
移项,得$-x= -1-2-2$. ②
解得$x= 5$. ③
(1) 小玉从①(填序号)开始出现了错误,错误的原因是方程右边的$-2$没有乘以$x - 3$;
(2) 请写出这个方程的正确解题过程.
解：方程两边都乘$x - 3$，得$2 - x = -1 - 2(x - 3)$
去括号，得$2 - x = -1 - 2x + 6$
移项，得$-x + 2x = -1 + 6 - 2$
合并同类项，得$x = 3$
检验：当$x = 3$时，$x - 3 = 0$，所以$x = 3$是增根
故原分式方程无解

答案：
(1) ①；方程右边的$-2$没有乘以$x - 3$
(2) 解：方程两边都乘$x - 3$，得$2 - x = -1 - 2(x - 3)$
去括号，得$2 - x = -1 - 2x + 6$
移项，得$-x + 2x = -1 + 6 - 2$
合并同类项，得$x = 3$
检验：当$x = 3$时，$x - 3 = 0$，所以$x = 3$是增根
故原分式方程无解

12. 已知关于$x的方程\frac{2x}{x-2}+\frac{m}{x-2}= -2$.
(1) 若此方程无解,则$m$的值是-4;
(2) 若此方程的解是正数,求$m$的取值范围.$m ＜ 4$且$m \neq -4$

答案：
(1)
首先去分母，得到：
$2x + m = -2(x - 2)$
$2x + m = -2x + 4$
$4x = 4-m$
$x = \frac{4-m}{4}$
由于方程无解，那么分母$x-2=0$，即$x=2$，代入得：
$2 = \frac{4-m}{4}$
$8 = 4-m$
$m = -4$
所以当$m=-4$时，方程无解。
(2)
继续使用
(1)中的解$x = \frac{4-m}{4}$，由于方程的解是正数，所以有：
$\frac{4-m}{4} ＞ 0$
$4-m ＞ 0$
$m ＜ 4$
又因为$x \neq 2$，所以：
$\frac{4-m}{4} \neq 2$
$4-m \neq 8$
$m \neq -4$
综合上述两个条件，得$m ＜ 4$ 且 $m \neq -4$。

阅读并完成下列问题:
方程$x+\frac{1}{x}= 2\frac{1}{2}的解是x_1= 2,x_2= \frac{1}{2}$;方程$x+\frac{1}{x}= \frac{10}{3}的解是x_1= 3,x_2= \frac{1}{3}$.
(1) 观察上述方程及解,猜想关于$x的方程x+\frac{1}{x}= c+\frac{1}{c}$的解;
(2) 请用上述方法解方程:$\frac{3x}{x-1}+\frac{x-1}{3x}= \frac{5}{2}$.

答案：
(1)观察上述方程，可以猜想方程$x+\frac{1}{x}= c+\frac{1}{c}$的解为：$x_1= c, x_2= \frac{1}{c}$。
(2)原方程$\frac{3x}{x-1}+\frac{x-1}{3x}= \frac{5}{2}$可以变形为：
令$\frac{3x}{x-1}=y$，则原方程化为$y+\frac{1}{y}=\frac{5}{2}$，
此时方程与
(1)中方程形式相同，
根据
(1)的结论，有：$y_1=2,y_2=\frac{1}{2}$，
当$y_1=2$时，即$\frac{3x}{x-1}=2$，
去分母得：$3x=2(x-1)$，
移项合并同类项得：$x=-2$，
当$y_2=\frac{1}{2}$时，即$\frac{3x}{x-1}=\frac{1}{2}$，
去分母得：$6x=x-1$，
移项合并同类项得：$5x=-1$，
解得：$x=-\frac{1}{5}$，
经检验，$x=-2$和$x=-\frac{1}{5}$都是原方程的解。
所以原方程的解为$x_1=-2,x_2=-\frac{1}{5}$。