《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

如图,将$\triangle ABC$分别沿AB,AC翻折得到$\triangle ABD和\triangle AEC$,线段BD与AE交于点F,连接BE.
(1)如果$\angle ABC= 16^{\circ }$,$\angle ACB= 30^{\circ }$,求$\angle DAE$的度数;
(2)如果$BD\perp CE$,求$\angle CAB$的度数.

答案：
(1)在△ABC中，∠ABC=16°，∠ACB=30°，由三角形内角和定理得∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-16°-30°=134°。
∵△ABD是△ABC沿AB翻折所得，
∴△ABD≌△ABC，
∴∠BAD=∠BAC=134°。
∵△AEC是△ABC沿AC翻折所得，
∴△AEC≌△ABC，
∴∠CAE=∠BAC=134°。
∵∠DAE=∠BAD+∠CAE-∠BAC，
∴∠DAE=134°+134°-134°=134°。
(2)设∠CAB=α，∠ABC=β，∠ACB=γ，由三角形内角和定理得α+β+γ=180°。
∵△ABD是△ABC沿AB翻折所得，
∴∠ABD=∠ABC=β，
∴∠DBC=∠ABD+∠ABC=2β。
∵△AEC是△ABC沿AC翻折所得，
∴∠ACE=∠ACB=γ，
∴∠ECB=∠ACE+∠ACB=2γ。
∵BD⊥CE，
∴∠BGC=90°（G为BD与CE交点），在△BGC中，∠GBC+∠GCB=90°，即2β+2γ=90°，
∴β+γ=45°。
∴α=180°-(β+γ)=180°-45°=135°，即∠CAB=135°。
(1)134°
(2)135°