《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

13. 已知代数式$\frac{1}{x-1}+\frac{x^{2}-3x}{x^{2}-1}$.
(1)当$x= -2$时,化简并求出这个代数式的值;
(2)根据化简的结果,小敏认为当$x= 1$时,该代数式的值为0.你同意她的观点吗?请说明理由.

答案：
(1)
首先对给定的代数式进行化简。
原式：
$\frac{1}{x-1} + \frac{x^{2}-3x}{x^{2}-1}$
因为 $x^{2}-1 = (x+1)(x-1)$，所以可以将第二个分式的分母进行因式分解，得到：
$\frac{1}{x-1} + \frac{x^{2}-3x}{(x+1)(x-1)}$
为了进行加法运算，需要找到两个分式的公共分母，即 $(x+1)(x-1)$。
因此，将第一个分式与 $\frac{x+1}{x+1}$ 相乘，得到：
$\frac{1 × (x+1)}{(x-1) × (x+1)} + \frac{x^{2}-3x}{(x+1)(x-1)}$
$= \frac{x+1+x^{2}-3x}{(x+1)(x-1)}$
$= \frac{x^{2}-2x+1}{(x+1)(x-1)}$
$= \frac{(x-1)^{2}}{(x+1)(x-1)}$
$= \frac{x-1}{x+1}$ （$x \neq 1$ 且 $x \neq -1$）
当 $x = -2$ 时，代入化简后的式子得：
$\frac{-2-1}{-2+1} = \frac{-3}{-1} = 3$
(2)
不同意。
理由：当 $x = 1$ 时，原式的分母 $x-1$ 和 $x^{2}-1$ 都为0，即代数式在 $x = 1$ 时无意义（分母不能为0）。
因此，小敏的观点是错误的。

14. 已知$A= \frac{m+1}{2}$,$B= \frac{2m}{m+1}$.当$m＞0$时,比较A与B的大小,并说明理由.

答案： $A - B = \frac{m + 1}{2} - \frac{2m}{m + 1}$
$= \frac{(m + 1)^{2} - 4m}{2(m + 1)}$
$= \frac{m^{2} + 2m + 1 - 4m}{2(m + 1)}$
$= \frac{m^{2} - 2m + 1}{2(m + 1)}$
$= \frac{(m - 1)^{2}}{2(m + 1)}$
因为$m ＞ 0$，所以$m + 1 ＞ 0$，$(m - 1)^{2} \geq 0$，
所以$\frac{(m - 1)^{2}}{2(m + 1)} \geq 0$，
当$m = 1$时，$A - B = 0$，即$A = B$；
当$m ＞ 0$且$m \neq 1$时，$A - B ＞ 0$，即$A ＞ B$。

已知$\frac{A}{x+1}-\frac{B}{x-3}= \frac{x+5}{(x+1)(x-3)}$(其中A,B为常数),求$A^{2024}B$的值.

答案： 首先，将等式$\frac{A}{x+1} - \frac{B}{x-3} = \frac{x+5}{(x+1)(x-3)}$两边同时乘以$(x+1)(x-3)$，得到：
$A(x-3) - B(x+1) = x+5$
展开并整理，得到：
$(A-B)x + (-3A-B) = x + 5$
由于两边的多项式相等，那么对应的系数也必须相等，因此可以列出方程组：
$\begin{cases}A - B = 1, \\-3A - B = 5.\end{cases}$解这个方程组，得到：
$\begin{cases}A = -1, \\B = -2.\end{cases}$
最后，代入$A^{2024}B$，得到：
$A^{2024}B = (-1)^{2024} × (-2) = -2$
所以，$A^{2024}B$的值为$-2$。