《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

9. 如图,在Rt△ACE中,∠E= 90°,过CE上一点D作DF⊥AC于点F,在AE上取点B,使BE= CF,连接AD,BD,且DB= DC.求证:AD是∠BAC的平分线.

答案： 证明：
∵∠E=90°，点B在AE上，
∴∠BED=90°.
∵DF⊥AC，
∴∠CFD=90°.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l} DB=DC \\ BE=CF \end{array}\right.$，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）.
∴DE=DF.
∵DE⊥AE，DF⊥AC，
∴点D到AB和AC的距离相等.
∴AD是∠BAC的平分线.

10. 如图,点D,E分别在AB,AC上,∠ADC= ∠AEB= 90°,BE,CD相交于点O,OB= OC.求证:∠1= ∠2.小虎同学的证明过程如下：

证明:∵∠ADC= ∠AEB= 90°,
∴∠DOB+∠B= ∠EOC+∠C= 90°.
∵∠DOB= ∠EOC,
∴∠B= ∠C.(第一步)
又OA= OA,OB= OC,
∴△ABO≌△ACO.(第二步)
∴∠1= ∠2.(第三步)
(1)小虎同学的证明过程中,第二步出现错误;(填“一”“二”或“三”)
(2)请写出正确的证明过程.
证明：∵∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠ODB=∠OEC=90°，∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90°．
∵∠DOB=∠EOC，
∴∠B=∠C．
在△ODB和△OEC中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠ODB=∠OEC\\ ∠B=∠C\\ OB=OC\end{array}\right. $，
∴△ODB≌△OEC(AAS)．
∴OD=OE．
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴点O在∠BAC的平分线上．
∴∠1=∠2．

答案：
(1)二
(2)证明：
∵∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠ODB=∠OEC=90°，∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90°.
∵∠DOB=∠EOC，
∴∠B=∠C.
在△ODB和△OEC中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠ODB=∠OEC\\ ∠B=∠C\\ OB=OC\end{array}\right.$，
∴△ODB≌△OEC(AAS).
∴OD=OE.
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴点O在∠BAC的平分线上.
∴∠1=∠2.