《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

在四边形ABCD中,已知∠B= 90°,点E在边BC上.
(1)如图①,∠C= 90°,AE= DE,AB= EC,求∠ADE的度数；
(2)如图②,AB= 2,AE平分∠BAD,DE平分∠ADC,∠AED= 105°.设CD= x,CE= y,请用含有x,y的式子表示AD.

答案：
(1)
∵∠B=∠C=90°，AE=DE，AB=EC，
∴Rt△ABE≌Rt△ECD(HL)，
∴∠BAE=∠CED，∠AEB=∠CDE。
设∠BAE=∠CED=α，则∠AEB=90°-α，∠CDE=90°-α。
∵∠AEB+∠AED+∠DEC=180°，
∴(90°-α)+∠AED+α=180°，得∠AED=90°。
∵AE=DE，
∴△AED为等腰直角三角形，
∴∠ADE=45°。
(2)
过E作EF⊥AD于F，EG⊥CD于G。
∵AE平分∠BAD，∠B=90°，
∴EB=EF；
∵DE平分∠ADC，
∴EG=EF，
∴EB=EG=m。
设AD=AF+FD，由△ABE≌△AFE得AF=AB=2；由△DGE≌△DFE得FD=DG=n，故AD=2+n。
在△AED中，∠AED=105°，∠EAD+∠EDA=75°，则∠BAD+∠ADC=150°，
∴∠C=360°-∠B-(∠BAD+∠ADC)=120°。
在Rt△EGC中，EC=y，∠ECG=60°，
∴EG=EC·sin60°= (√3/2)y=m，CG=EC·cos60°= y/2。
∵DG=CD-CG=x- y/2，即n=x- y/2，
∴AD=2+(x- y/2)=x - y/2 + 2。
(1) 45°
(2) AD=x - (y/2) + 2