《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

12. 如图,BP是△ABC的外角∠ABD的平分线,延长CA交BP于点P,∠ACB的平分线交BP于点E.
(1)若∠BAC= 80°,求∠PEC的度数；
(2)若∠P= 20°,判断∠BAC与∠ACB的度数之差是否为定值；
(3)过点C作CF⊥CE交直线BP于点F.设∠BAC= α,补全图形,并求∠BFC的度数.(用含α的式子表示)

答案：
(1)
因为$\angle BAC = 80^{\circ}$，所以$\angle ABD = \angle BAC + \angle ACB=180^{\circ}-80^{\circ}+\angle ACB = 100^{\circ}+\angle ACB$。
因为$BP$平分$\angle ABD$，$CE$平分$\angle ACB$，所以$\angle ABP=\frac{1}{2}\angle ABD = 50^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ACB$，$\angle ECB=\frac{1}{2}\angle ACB$。
$\angle PEC=\angle EBC+\angle ECB=\angle ABP + \angle ECB=50^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ACB+\frac{1}{2}\angle ACB = 50^{\circ}+\angle ACB-\angle BAC+\angle PEC-\angle EBC$，又$\angle PEC=\angle P+\angle PAE=\angle P+\angle BAC-\angle PAC$。
在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 180^{\circ}-\angle BAC-\angle ABC$，而$\angle ABD = 180^{\circ}-\angle ABC$，$\angle PEC=\angle P+\angle PAB$，$\angle PAB=\angle BAC$。
$\angle PEC=\frac{1}{2}(\angle BAC + \angle ACB)= \frac{1}{2}(80^{\circ}+\angle ACB)$，同时$\angle PEC = 180^{\circ}-\angle PEC-\angle BEC$，在$\triangle BCE$中，$\angle BEC = 180^{\circ}-\angle EBC-\angle ECB$。
因为$\angle ABP=\frac{1}{2}\angle ABD$，$\angle ECB=\frac{1}{2}\angle ACB$，$\angle PEC=\angle P+\angle PAB$，$\angle PAB = \angle BAC$，$\angle ABD=\angle BAC+\angle ACB$。
$\angle PEC=\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle ACB)$的另一种推导：
$\angle ABD = 180^{\circ}-\angle ABC$，$\angle ACB = 180^{\circ}-\angle BAC-\angle ABC$，$\angle ABP=\frac{1}{2}\angle ABD$，$\angle ECB=\frac{1}{2}\angle ACB$。
$\angle PEC=\angle EBC+\angle ECB=\angle ABP+\angle ECB$，$\angle ABP=\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle ACB)$，$\angle ECB=\frac{1}{2}\angle ACB$。
$\angle PEC = 40^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ACB+\frac{1}{2}\angle ACB-\angle BAC + \angle BAC$，整理得$\angle PEC = 40^{\circ}+ \frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC-\angle ABC)+\frac{1}{2}\angle ACB$，因为$\angle ABD=\angle BAC+\angle ACB$，$\angle ABP=\frac{1}{2}\angle ABD$。
所以$\angle PEC = 40^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC+\frac{1}{2}\angle ACB-\frac{1}{2}\angle BAC+\frac{1}{2}\angle ACB = 40^{\circ}+ \frac{1}{2}(\angle BAC+\angle ACB)$，把$\angle BAC = 80^{\circ}$代入得$\angle PEC = 40^{\circ}+\frac{1}{2}(80^{\circ}+\angle ACB)-\frac{1}{2}\angle ACB+\frac{1}{2}\angle ACB = 40^{\circ}+40^{\circ}= 50^{\circ}$。
(2)
设$\angle ACB = 2x$，$\angle ABD = 2y$。
因为$\angle ABD=\angle BAC+\angle ACB$，所以$2y=\angle BAC + 2x$。
因为$\angle P = 20^{\circ}$，在$\triangle ABP$中，$\angle ABP=y$，$\angle BAP = 180^{\circ}-\angle BAC$，$\angle P = 20^{\circ}$，所以$y=20^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC+x-\frac{1}{2}\angle BAC$。
由$\angle ABD=\angle BAC+\angle ACB$，即$2y=\angle BAC + 2x$，把$y$用$\angle BAC$和$x$表示代入得：
$2(20^{\circ}+\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle ACB))=\angle BAC + \angle ACB$（这里$\angle ACB = 2x$），展开得$40^{\circ}+\angle BAC+\angle ACB=\angle BAC+\angle ACB$（此步为验证关系），我们换一种方式。
在$\triangle ABP$中，$\angle P = 20^{\circ}$，$\angle ABP=\frac{1}{2}\angle ABD$，$\angle ABD=\angle BAC+\angle ACB$，$\angle PAB = 180^{\circ}-\angle BAC$。
$\angle P=180^{\circ}-\angle PAB-\angle ABP=180^{\circ}-(180^{\circ}-\angle BAC)-\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle ACB)$。
$20^{\circ}=\angle BAC-\frac{1}{2}\angle BAC-\frac{1}{2}\angle ACB=\frac{1}{2}\angle BAC-\frac{1}{2}\angle ACB$。
所以$\angle BAC-\angle ACB = 40^{\circ}$，是定值。
(3)
因为$CF\perp CE$，所以$\angle ECF = 90^{\circ}$。
由
(2)可知$\angle P=\frac{1}{2}(\angle BAC-\angle ACB)$（前面已证$\angle BAC-\angle ACB$是定值相关），$\angle ABP=\frac{1}{2}\angle ABD=\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle ACB)$。
在$\triangle PCF$中，$\angle BFC = 180^{\circ}-\angle PCF-\angle P$。
因为$\angle PCF = 90^{\circ}-\angle ECB$，$\angle ECB=\frac{1}{2}\angle ACB$，$\angle P=\frac{1}{2}(\angle BAC-\angle ACB)$。
$\angle BFC=\frac{1}{2}\alpha$（当$\alpha\lt180^{\circ}$时，通过角度关系推导：
$\angle ABD=\angle BAC+\angle ACB$，$\angle ABP=\frac{1}{2}\angle ABD$，$\angle P=\angle ABP-\angle BAP$（$\angle BAP = 180^{\circ}-\angle BAC$），$\angle ECB=\frac{1}{2}\angle ACB$，$\angle BFC = 90^{\circ}-\angle ECB-\angle P$，整理得$\angle BFC=\frac{1}{2}\alpha$ ）。
当点$P$在$CA$的延长线上时（补全图形后），$\angle BFC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha$。
综上，当点$P$在$CA$延长线一侧时，$\angle BFC=\frac{1}{2}\alpha$；当点$P$在$CA$另一侧延长线时，$\angle BFC = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha$。

如图,∠ABD和∠ACD的平分线交于点P.若∠P= 20°,∠D= 10°,求∠A的度数.

答案： 设∠ABD=2x，∠ACD=2y，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，故∠ABP=∠PBD=x，∠ACP=∠PCD=y。
延长BP交AC于点E：
在△ABE中，外角∠AEB=∠A+∠ABE=∠A+x。
在△PEC中，外角∠AEB=∠P+∠PCE=20°+y。
∴∠A+x=20°+y，即y=∠A+x-20°①。
延长CP交BD于点F：
在△CDF中，外角∠CFD=∠D+∠DCF=10°+y。
在△BFP中，外角∠CFD=∠P+∠FBP=20°+x。
∴10°+y=20°+x，即y=x+10°②。
联立①②：x+10°=∠A+x-20°，解得∠A=30°。
∠A=30°