《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

23. (本小题 10 分)如图①,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,AC= BC,直线 l 经过点 C,过点 A 作 AD⊥直线 l,垂足为 D,过点 B 作 BE⊥直线 l,垂足为 E.
(1) 求证:△ADC≌△CEB;
(2) 若 AD= 5,DE= 13,求 BE 的长;
(3) 如图②,延长 AD 至点 F,连接 CF,过点 C 作 CG⊥CF,且 CG= CF,连接 BG 交直线 l 于点 H.若 S△CGH= 30,CD= 10,则 AF 的长为______.

(1) 证明：∵AD⊥l，BE⊥l，∴∠ADC=∠CEB=90°。
∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°。
∵∠ADC=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BCE。
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB，∠CAD=∠BCE，AC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS)。
(2) ∵△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE。
∵AD=5，∴CE=5。
∵DE=13，DE=DC+CE，∴DC=DE-CE=13-5=8。
∴BE=DC=8。
(3) 12

答案：
(1) 证明：
∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠ADC=∠CEB=90°。
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°。
∵∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE。
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB，∠CAD=∠BCE，AC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS)。
(2)
∵△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE。
∵AD=5，
∴CE=5。
∵DE=13，DE=DC+CE，
∴DC=DE-CE=13-5=8。
∴BE=DC=8。
(3) 12