《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

12. 如图,在△ABC 中,AD 是高,AE 是角平分线,∠B= 70°,∠C= 30°.
(1)求∠BAE 的度数；
(2)求∠DAE 的度数；
(3)小亮认为只要知道∠B-∠C= 40°,就能求出∠DAE 的度数. 你同意小亮的观点吗？若同意,请写出求解过程；若不同意,请说明理由.

答案：
(1)
$\because \angle B + \angle C + \angle BAC = 180^{\circ}$，$\angle B = 70^{\circ}$，$\angle C = 30^{\circ}$
$\therefore \angle BAC = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 30^{\circ} = 80^{\circ}$
$\because AE$是角平分线
$\therefore \angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAC = 40^{\circ}$
(2)
$\because AD$是高
$\therefore \angle ADB = 90^{\circ}$
在$\triangle ABD$中，$\angle BAD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}$
由
(1)知$\angle BAE = 40^{\circ}$
$\therefore \angle DAE=\angle BAE - \angle BAD = 40^{\circ} - 20^{\circ} = 20^{\circ}$
(3)同意
$\because \angle B + \angle C + \angle BAC = 180^{\circ}$
$\therefore \angle BAC = 180^{\circ} - (\angle B + \angle C)$
$\because AE$是角平分线
$\therefore \angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}×[180^{\circ} - (\angle B + \angle C)] = 90^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$
$\because AD$是高
$\therefore \angle ADB = 90^{\circ}$
在$\triangle ABD$中，$\angle BAD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - \angle B$
$\therefore \angle DAE=\angle BAE - \angle BAD = 90^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)-(90^{\circ} - \angle B)$
$= 90^{\circ} - \frac{1}{2}\angle B - \frac{1}{2}\angle C - 90^{\circ} + \angle B$
$=\frac{1}{2}(\angle B - \angle C)$
$\because \angle B - \angle C = 40^{\circ}$
$\therefore \angle DAE=\frac{1}{2}×40^{\circ} = 20^{\circ}$

【提出问题】如图,AO,BO 分别平分∠CAB,∠CBA,OD⊥AO 交 AB 于点 D,探究∠C 与∠BOD 的数量关系.
【特例探究】若∠CAB= 50°,∠CBA= 68°,则∠C 与∠BOD 的数量关系为∠BOD=1/2∠C.
【一般情形】对于一般情形,上述结论还成立吗？请说明理由.成立，∠BOD=1/2∠C. 理由：设∠CAB=2α，∠CBA=2β，则∠C=180°-2α-2β=2(90°-α-β). ∵AO，BO分别平分∠CAB，∠CBA，∴∠OAB=α，∠OBA=β. 在△AOB中，∠AOB=180°-α-β. ∵OD⊥AO，∴∠AOD=90°. ∵∠AOB=∠AOD+∠BOD，∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=(180°-α-β)-90°=90°-α-β. ∴∠BOD=1/2∠C.

答案： 特例探究
∠C=180°-∠CAB-∠CBA=180°-50°-68°=62°.
∵AO平分∠CAB，BO平分∠CBA，
∴∠OAB=1/2∠CAB=25°，∠OBA=1/2∠CBA=34°.
在△AOB中，∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-25°-34°=121°.
∵OD⊥AO，
∴∠AOD=90°.
∵∠AOB=∠AOD+∠BOD，
∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=121°-90°=31°.
∵31°=1/2×62°，
∴∠BOD=1/2∠C.
一般情形
结论成立，∠BOD=1/2∠C.
理由：设∠CAB=2α，∠CBA=2β，
则∠C=180°-2α-2β=2(90°-α-β).
∵AO，BO分别平分∠CAB，∠CBA，
∴∠OAB=α，∠OBA=β.
在△AOB中，∠AOB=180°-α-β.
∵OD⊥AO，
∴∠AOD=90°.
∵∠AOB=∠AOD+∠BOD，
∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=(180°-α-β)-90°=90°-α-β.
∴∠BOD=1/2∠C.
答案：∠BOD=1/2∠C；成立，∠BOD=1/2∠C.