《2025年自我提升与评价八年级数学上册人教版》

【实验与探究】
(1) 由图易知点$A(0,2)$关于直线$l$的对称点$A'$的坐标为$(2,0)$,请在图中分别标明点$B(5,3),C(-2,5)$关于直线$l的对称点B'$,$C'$的位置,并写出它们的坐标;点$B(5,3)$关于直线$l$的对称点$B'$的坐标为$(3,5)$；点$C(-2,5)$关于直线$l$的对称点$C'$的坐标为$(5,-2)$。
【归纳与发现】
(2) 结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:坐标平面内任一点$P(a,b)$关于第一、三象限的平分线$l的对称点P'$的坐标为$(b,a)$;
【运用与拓广】
(3) 已知点$D(1,-3),E(-1,-4)$,试在直线$l上确定一点Q$,使点$Q到D,E$两点的距离之和最小.作点$E(-1,-4)$关于直线$l$的对称点$E'( - 4,-1)$，连接$DE'$，交直线$l$于点$Q$，则$Q$为所求。
设直线$DE'$的解析式为$y = kx + b$，将$D(1,-3)$，$E'( - 4,-1)$代入可得：
$\begin{cases}k + b = - 3\\- 4k + b = - 1\end{cases}$
两式相减得：$5k=-2$，解得$k =-\frac{2}{5}$，
把$k =-\frac{2}{5}$代入$k + b = - 3$得：$-\frac{2}{5}+b=-3$，解得$b =-\frac{13}{5}$。
所以直线$DE'$的解析式为$y = -\frac{2}{5}x-\frac{13}{5}$。
令$y = x$，则$x = -\frac{2}{5}x-\frac{13}{5}$，
移项得：$x+\frac{2}{5}x=-\frac{13}{5}$，
即$\frac{7}{5}x=-\frac{13}{5}$，
解得$x =-\frac{13}{7}$，
所以$y =-\frac{13}{7}$，
即$Q(-\frac{13}{7},-\frac{13}{7})$。

答案：
(1)点$B(5,3)$关于直线$l$的对称点$B'$的坐标为$(3,5)$；点$C(-2,5)$关于直线$l$的对称点$C'$的坐标为$(5,-2)$。
(2)$(b,a)$
(3)
作点$E(-1,-4)$关于直线$l$的对称点$E'( - 4,-1)$，连接$DE'$，交直线$l$于点$Q$，则$Q$为所求。
设直线$DE'$的解析式为$y = kx + b$，将$D(1,-3)$，$E'( - 4,-1)$代入可得：
$\begin{cases}k + b = - 3\\- 4k + b = - 1\end{cases}$
两式相减得：$5k=-2$，解得$k =-\frac{2}{5}$，
把$k =-\frac{2}{5}$代入$k + b = - 3$得：$-\frac{2}{5}+b=-3$，解得$b =-\frac{13}{5}$。
所以直线$DE'$的解析式为$y = -\frac{2}{5}x-\frac{13}{5}$。
令$y = x$，则$x = -\frac{2}{5}x-\frac{13}{5}$，
移项得：$x+\frac{2}{5}x=-\frac{13}{5}$，
即$\frac{7}{5}x=-\frac{13}{5}$，
解得$x =-\frac{13}{7}$，
所以$y =-\frac{13}{7}$，
即$Q(-\frac{13}{7},-\frac{13}{7})$。